Exercice 48

1. En multipliant $1 + x^{3}$ par $\frac{1}{1 + x^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + o(x^{7})$ (chapitre 10) : $$\boxed{\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 1} = 1 - x^{2} + x^{3} + x^{4} - x^{5} - x^{6} + x^{7} + o(x^{7})}$$

2. Soit $T = 1 - X^{2} + X^{3} + X^{4} - X^{5} - X^{6} + X^{7}$. Le polynôme $X^{3} + 1 - (X^{2} + 1)T$ a une fonction associée négligeable devant $x^{7}$ en $0$, donc il est divisible par $X^{8}$ ; il est de degré $9$, et le calcul donne $X^{8}(1 - X)$. En divisant par $X^{8}(X^{2} + 1)$ : $$\boxed{\frac{X^{3} + 1}{X^{8}(X^{2} + 1)} = \frac{1}{X^{8}} - \frac{1}{X^{6}} + \frac{1}{X^{5}} + \frac{1}{X^{4}} - \frac{1}{X^{3}} - \frac{1}{X^{2}} + \frac{1}{X} + \frac{1 - X}{X^{2} + 1}}$$ La partie polaire en $0$ se lit sur le développement limité : c'est la méthode la plus rapide pour un pôle d'ordre élevé.