Exercice 47

On trouve $\frac{1}{(X^{2} + 1)(X - 1)^{2}} = \frac{1}{2(X - 1)^{2}} - \frac{1}{2(X - 1)} + \frac{X}{2(X^{2} + 1)}$ : le coefficient de $\frac{1}{(X - 1)^{2}}$ s'obtient en évaluant $\frac{1}{X^{2} + 1}$ en $1$, celui de seconde espèce en multipliant par $X^{2} + 1$ et en évaluant en $\mathrm{i}$, et le dernier par la limite de $xF(x)$. En multipliant par $AB$ : $$1 = \frac{1}{2}A - \frac{X - 1}{2}A + \frac{X}{2}B.$$

$$\boxed{\frac{2 - X}{2}\,(X^{2} + 1) + \frac{X}{2}\,(X - 1)^{2} = 1}$$ À retenir. La décomposition en éléments simples d'un $\frac{1}{AB}$ fournit une relation de Bézout entre $A$ et $B$ : c'est le chemin inverse de la démonstration du théorème 14.