Exercice 46

(i) Les pôles $0, 1, \dots, n$ sont simples, et la proposition 23 donne pour coefficient en $k$ l'inverse de $\prod_{j \neq k} (k - j) = k!\,(-1)^{n - k}(n - k)!$. $$\boxed{\frac{1}{X(X - 1) \cdots (X - n)} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(-1)^{n - k}}{k!\,(n - k)!}\,\frac{1}{X - k}}$$

(ii) et (iii) Les pôles sont les $\omega_{k} = \mathrm{e}^{2\mathrm{i} k\pi/n}$, simples, avec $Q'(\omega_{k}) = n\omega_{k}^{n - 1} = \frac{n}{\omega_{k}}$. $$\boxed{\frac{X^{n - 1}}{X^{n} - 1} = \frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{X - \omega_{k}}, \qquad \frac{1}{X^{n} - 1} = \frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{\omega_{k}}{X - \omega_{k}}}$$

(iv) Le pôle $1$ est double, les autres $\omega_{k}$ sont simples, de coefficient $\frac{1}{(\omega_{k} - 1)\,n\omega_{k}^{n - 1}} = \frac{\omega_{k}}{n(\omega_{k} - 1)}$. En $1$, $(X - 1)^{2}F = \frac{1}{S}$ avec $S = 1 + X + \cdots + X^{n - 1}$ : la formule de Taylor donne les coefficients $\frac{1}{S(1)} = \frac{1}{n}$ et $-\frac{S'(1)}{S(1)^{2}} = -\frac{n - 1}{2n}$. $$\boxed{\frac{1}{(X - 1)(X^{n} - 1)} = \frac{1}{n(X - 1)^{2}} - \frac{n - 1}{2n(X - 1)} + \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{\omega_{k}}{n(\omega_{k} - 1)}\,\frac{1}{X - \omega_{k}}}$$