ATLAS Ouvrir dans l'atlas →

ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 13 — Polynômes et fractions rationnelles · Décomposition en éléments simples

Exercice 45

Calcul

Décomposer en éléments simples sur ℝ\mathbb{R} les fractions rationnelles suivantes, puis, pour la quatrième, sur ℂ\mathbb{C}.

(i) 1(X+1)2(3−X)(ii) 1(X2−1)(X+1)2(iii) 7X2+4X−4X4−4X2(iv) X4+1X4−1(v) X3−1(X−2)2(vi) 3X4+X3+4X2−X−3(X+1)(X2+1)2\begin{array}{lll} \text{(i) }\dfrac{1}{(X + 1)^{2}(3 - X)} & \text{(ii) }\dfrac{1}{(X^{2} - 1)(X + 1)^{2}} & \text{(iii) }\dfrac{7X^{2} + 4X - 4}{X^{4} - 4X^{2}} \\ \text{(iv) }\dfrac{X^{4} + 1}{X^{4} - 1} & \text{(v) }\dfrac{X^{3} - 1}{(X - 2)^{2}} & \text{(vi) }\dfrac{3X^{4} + X^{3} + 4X^{2} - X - 3}{(X + 1)(X^{2} + 1)^{2}} \end{array}
Corrigé

On suit la méthode du cours : partie entière, pôles simples par la proposition 23, pôles multiples par multiplication et évaluation, puis limite de xF(x)xF(x) ou valeur particulière. (i) 1(X+1)2(3−X)=14(X+1)2+116(X+1)−116(X−3)\text{(i)} \ \boxed{\frac{1}{(X + 1)^{2}(3 - X)} = \frac{1}{4(X + 1)^{2}} + \frac{1}{16(X + 1)} - \frac{1}{16(X - 3)}}

(ii) 1(X2−1)(X+1)2=18(X−1)−18(X+1)−14(X+1)2−12(X+1)3\text{(ii)} \ \boxed{\frac{1}{(X^{2} - 1)(X + 1)^{2}} = \frac{1}{8(X - 1)} - \frac{1}{8(X + 1)} - \frac{1}{4(X + 1)^{2}} - \frac{1}{2(X + 1)^{3}}}
(iii) 7X2+4X−4X4−4X2=1X2−1X+2X−2−1X+2\text{(iii)} \ \boxed{\frac{7X^{2} + 4X - 4}{X^{4} - 4X^{2}} = \frac{1}{X^{2}} - \frac{1}{X} + \frac{2}{X - 2} - \frac{1}{X + 2}}
(iv) X4+1X4−1=1+12(X−1)−12(X+1)−1X2+1sur ℝ,\text{(iv)} \ \boxed{\frac{X^{4} + 1}{X^{4} - 1} = 1 + \frac{1}{2(X - 1)} - \frac{1}{2(X + 1)} - \frac{1}{X^{2} + 1}} \quad \text{sur } \mathbb{R},
X4+1X4−1=1+12(X−1)−12(X+1)+i2(X−i)−i2(X+i)sur ℂ\boxed{\frac{X^{4} + 1}{X^{4} - 1} = 1 + \frac{1}{2(X - 1)} - \frac{1}{2(X + 1)} + \frac{\mathrm{i}}{2(X - \mathrm{i})} - \frac{\mathrm{i}}{2(X + \mathrm{i})}} \quad \text{sur } \mathbb{C}
(v) X3−1(X−2)2=X+4+12X−2+7(X−2)2\text{(v)} \ \boxed{\frac{X^{3} - 1}{(X - 2)^{2}} = X + 4 + \frac{12}{X - 2} + \frac{7}{(X - 2)^{2}}}

(vi) 3X4+X3+4X2−X−3(X+1)(X2+1)2=1X+1+2X−1X2+1+X−3(X2+1)2\text{(vi)} \ \boxed{\frac{3X^{4} + X^{3} + 4X^{2} - X - 3}{(X + 1)(X^{2} + 1)^{2}} = \frac{1}{X + 1} + \frac{2X - 1}{X^{2} + 1} + \frac{X - 3}{(X^{2} + 1)^{2}}} Pour (vi), on obtient le coefficient en −1-1 par la proposition 23, puis le terme X−3(X2+1)2\frac{X - 3}{(X^{2} + 1)^{2}} en multipliant par (X2+1)2(X^{2} + 1)^{2} et en évaluant en i\mathrm{i}, enfin 2X−1X2+1\frac{2X - 1}{X^{2} + 1} par différence.

Énoncé PDF, p. 8Corrigé PDF, p. 15Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Corps des fractions d'un anneau intègre

Thèmes

décomposition en éléments simples, fractions rationnelles

Notions

corps des fractions

Ouvrir dans l'atlas interactif →