Exercice 44

1. Si $P = \sum a_{k}X^{k}$, alors $P(\omega X) = \sum a_{k}\omega^{k}X^{k}$, et l'identification donne $a_{k}(\omega^{k} - 1) = 0$ : $a_{k} = 0$ dès que $n \nmid k$. Donc $P = \sum_{m} a_{mn}X^{mn} = Q(X^{n})$.

2. On écrit $\frac{X + \omega^{k}}{X - \omega^{k}} = 1 + \frac{2\omega^{k}}{X - \omega^{k}}$. Par la proposition 23, $\frac{n}{X^{n} - 1} = \sum_{k} \frac{\omega^{k}}{X - \omega^{k}}$, car le coefficient en $\omega^{k}$ vaut $\frac{n}{n\omega^{k(n - 1)}} = \omega^{k}$. $$\boxed{\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{X + \omega^{k}}{X - \omega^{k}} = n + \frac{2n}{X^{n} - 1} = \frac{n(X^{n} + 1)}{X^{n} - 1}}$$