Exercice 43

1. Si $\frac{P}{Q} = \frac{P_{1}}{Q_{1}}$, alors $PQ_{1} = P_{1}Q$, et la multiplicité d'un produit est la somme des multiplicités : $\mu_{z}(P) + \mu_{z}(Q_{1}) = \mu_{z}(P_{1}) + \mu_{z}(Q)$.

2. Si $m = \mu_{0}(F) \neq 0$, on écrit $F = X^{m}G$ avec $\mu_{0}(G) = 0$, c'est-à-dire $G$ sans zéro ni pôle en $0$. Alors $F' = X^{m - 1}(mG + XG')$, et $G'$ n'a pas de pôle en $0$, donc $mG + XG'$ prend en $0$ la valeur $mG(0) \neq 0$. $$\boxed{\mu_{0}(F') = \mu_{0}(F) - 1 \quad \text{si } \mu_{0}(F) \neq 0}$$ Si $F' = \frac{1}{X}$, alors $\mu_{0}(F') = -1$. Si $\mu_{0}(F) \neq 0$, on aurait $\mu_{0}(F) = 0$ : contradiction. Si $\mu_{0}(F) = 0$, $F$ n'a pas de pôle en $0$, donc $F'$ non plus : contradiction. Il n'existe pas de « logarithme rationnel ».