Exercice 42

D'après l'exercice 30, $(X^{p} - 1) \wedge (X^{q} - 1) = X - 1$. La forme irréductible est donc $$\frac{X^{p} - 1}{X^{q} - 1} = \frac{1 + X + \cdots + X^{p - 1}}{1 + X + \cdots + X^{q - 1}}.$$

$$\boxed{\text{zéros : } \mathbb{U}_{p} \setminus \{1\} ; \quad \text{pôles : } \mathbb{U}_{q} \setminus \{1\} ; \quad \text{tous simples}}$$ En particulier, $1$ n'est ni un zéro ni un pôle, bien qu'il annule le numérateur et le dénominateur de l'écriture initiale.