Exercice 41

Si $a$ est un pôle de $F$, l'égalité $F(X) = F(X + 1)$ montre que $a - 1$ en est un aussi, puis $a - 2$, etc. : $F$ aurait une infinité de pôles, ce qui est impossible. Donc $F$ est un polynôme $P$, et $P - P(0)$ s'annule en tous les entiers naturels, puisque $P(n + 1) = P(n)$ : il est nul. $$\boxed{F \text{ est constante}}$$