Exercice 40

1. Le degré d'une fraction est un entier, et $\deg(F^{2}) = 2\deg F$ est pair, alors que $\deg X = 1$ et $\deg \frac{1}{X} = -1$ sont impairs.

2. Non. Si $R = \frac{P}{Q}$ sous forme irréductible, alors $R^{2} = \frac{P^{2}}{Q^{2}}$ est encore sous forme irréductible, et tous ses pôles sont de multiplicité paire. Or $\frac{X^{2}}{(X + 1)(X + 2)}$ est sous forme irréductible, avec les pôles simples $-1$ et $-2$. $$\boxed{\text{aucune de ces équations n'a de solution}}$$ Piège. Le degré ne suffit pas pour la question 2 : $\frac{X^{2}}{(X + 1)(X + 2)}$ est de degré $0$, qui est pair. Il faut un argument plus fin, sur les multiplicités.