Exercice 39

1. Les polynômes $P$ et $\sum P(z_{k})L_{k}$ sont de degré au plus $s - 1$ et coïncident en les $s$ points $z_{k}$ : par le théorème 3, $$\boxed{\sum_{k = 1}^{s} P(z_{k})L_{k} = P}$$

2. Pour $r \leqslant s - 1$, la question 1 avec $P = X^{r}$ donne $\sum z_{k}^{r}L_{k} = X^{r}$ ; en particulier $\sum L_{k} = 1$. Pour $r = s$, le polynôme $X^{s} - (X - z_{1}) \cdots (X - z_{s})$ est de degré au plus $s - 1$ et prend la valeur $z_{k}^{s}$ en $z_{k}$ : $$\boxed{\sum_{k = 1}^{s} z_{k}^{r}L_{k} = X^{r} \ (r < s), \qquad \sum_{k = 1}^{s} z_{k}^{s}L_{k} = X^{s} - \prod_{k = 1}^{s} (X - z_{k})}$$

3. Si $A = NQ + R$ avec $N = \prod (X - z_{k})$ et $\deg R < s$, alors $R(z_{k}) = A(z_{k})$, et la question 1 appliquée à $R$ donne $R = \sum A(z_{k})L_{k}$. Le reste est donc le polynôme d'interpolation de $A$ aux points $z_{k}$, ce qui généralise l'exercice 20.