ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 13 — Polynômes et fractions rationnelles · Décomposition en éléments simples

Exercice 49

Calcul

1. Déterminer une primitive de $x \mapsto \frac{1}{1 - x^{2}}$ sur $]-1, 1[$ , et de $x \mapsto \frac{x}{x^{3} - 7x + 6}$ sur $]2, +\infty[$ .

2. Calculer la dérivée $n$ -ième de $x \mapsto \frac{1}{x^{2} - 3x + 2}$ sur $]2, +\infty[$ .

Corrigé

1. On a $\frac{1}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}\Big)$ , et la factorisation $x^{3} - 7x + 6 = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$ donne $\frac{x}{x^{3} - 7x + 6} = -\frac{1}{4(x - 1)} + \frac{2}{5(x - 2)} - \frac{3}{20(x + 3)}.$

\boxed{\frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x} \ \text{sur } ]-1, 1[ ; \qquad -\frac{1}{4}\ln(x - 1) + \frac{2}{5}\ln(x - 2) - \frac{3}{20}\ln(x + 3) \ \text{sur } ]2, +\infty[}

2. On a $\frac{1}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}$ , et la dérivée $n$ -ième de $\frac{1}{x - a}$ vaut $\frac{(-1)^{n}n!}{(x - a)^{n + 1}}$ . $\boxed{\Big(\frac{1}{x^{2} - 3x + 2}\Big)^{(n)} = (-1)^{n}n!\Big(\frac{1}{(x - 2)^{n + 1}} - \frac{1}{(x - 1)^{n + 1}}\Big)}$

Énoncé PDF, p. 8 Corrigé PDF, p. 17 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Corps des fractions d'un anneau intègre Dérivée formelle et racines multiples Théorème fondamental de l'analyse

Thèmes

décomposition en éléments simples, polynôme dérivé, intégration des fractions

Notions

dérivée formelle, dérivées successives