Exercice 50

(i) On a $\frac{k + 3}{k(k + 1)(k + 2)} = \frac{3}{2k} - \frac{2}{k + 1} + \frac{1}{2(k + 2)} = \frac{3}{2}\Big(\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}\Big) - \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}\Big)$, et le télescopage donne $\frac{3}{2}\Big(1 - \frac{1}{n + 1}\Big) - \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{2} - \frac{1}{n + 2}\Big)$.

(ii) On a $k^{4} + k^{2} + 1 = (k^{2} + 1)^{2} - k^{2} = (k^{2} - k + 1)(k^{2} + k + 1)$, et $$\frac{k}{k^{4} + k^{2} + 1} = \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{k^{2} - k + 1} - \frac{1}{k^{2} + k + 1}\Big).$$ Comme $(k + 1)^{2} - (k + 1) + 1 = k^{2} + k + 1$, la somme télescope : elle vaut $\frac{1}{2}\Big(1 - \frac{1}{n^{2} + n + 1}\Big)$.

(iii) On a $\frac{1}{k^{2} + k - 6} = \frac{1}{(k - 2)(k + 3)} = \frac{1}{5}\Big(\frac{1}{k - 2} - \frac{1}{k + 3}\Big)$ ; le télescopage, de pas $5$, laisse les cinq premiers termes positifs, $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{137}{60}$, moins cinq termes qui tendent vers $0$. $$\boxed{\text{(i) } \frac{5}{4} ; \qquad \text{(ii) } \frac{1}{2} ; \qquad \text{(iii) } \frac{137}{300}}$$