Exercice 51

On utilise un fait général : si $F$ n'a que des pôles simples $a_{i}$, de coefficients $c_{i}$, et si $\deg F < 0$, alors $xF(x) \to \sum c_{i}$ en $+\infty$ ; cette somme est nulle si $\deg F \leqslant -2$.

(i) $\frac{1}{P} = \sum_{k} \frac{1}{P'(x_{k})}\,\frac{1}{X - x_{k}}$, et $\deg \frac{1}{P} = -n \leqslant -2$.

(ii) $\frac{1}{XP}$ a les pôles simples $0$, de coefficient $\frac{1}{P(0)}$, et $x_{k}$, de coefficient $\frac{1}{x_{k}P'(x_{k})}$ ; son degré est $-n - 1 \leqslant -2$.

(iii) $\frac{P''}{P}$ a les pôles simples $x_{k}$, de coefficients $\frac{P''(x_{k})}{P'(x_{k})}$, et est de degré $-2$. $$\boxed{\sum \frac{1}{P'(x_{k})} = 0, \qquad \sum \frac{1}{x_{k}P'(x_{k})} = -\frac{1}{P(0)}, \qquad \sum \frac{P''(x_{k})}{P'(x_{k})} = 0}$$