Exercice 52

1. Par la proposition 24, $\frac{P'}{P}$ n'a que des pôles simples, et ses coefficients sont les multiplicités des racines, donc des entiers. Or le coefficient de $\frac{1}{X - 1}$ dans $\frac{X^{2} + 1}{X^{3} - 1}$ vaut $\frac{2}{3}$. $$\boxed{\text{aucun polynôme ne convient}}$$

2. La décomposition donnée impose les racines $1$ et $0$, de multiplicités $2$ et $3$, et aucune autre : $P = \lambda(X - 1)^{2}X^{3}$, et réciproquement ces polynômes conviennent. $$\boxed{P = \lambda X^{3}(X - 1)^{2}, \quad \lambda \in \mathbb{R}^{*}}$$