ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 13 — Polynômes et fractions rationnelles · Exercices de synthèse

Exercice 54

Vrai ou fauxDémonstration

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple.

1. Le degré de $P + Q$ est le plus grand des degrés de $P$ et de $Q$ .

2. Tout polynôme de $\mathbb{R}[X]$ de degré impair possède au moins une racine réelle.

3. Un polynôme de $\mathbb{R}[X]$ sans racine réelle est irréductible dans $\mathbb{R}[X]$ .

4. Si $a$ est racine double de $P$ , alors $a$ est racine simple de $P'$ .

5. Deux polynômes de $\mathbb{C}[X]$ sans racine commune sont premiers entre eux.

6. Le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^{2} - 1$ est $P(1)X + P(-1)$ .

7. Tout polynôme de $\mathbb{C}[X]$ de degré $n \geqslant 1$ possède exactement $n$ racines distinctes.

8. La partie entière de $\frac{X^{3} + 1}{X^{2} + 1}$ est $X$ .

9. Si $a$ est un pôle simple de $F = \frac{P}{Q}$ , sous forme irréductible, le coefficient de $\frac{1}{X - a}$ dans la décomposition de $F$ est $\frac{P(a)}{Q'(a)}$ .

10. Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ , le polynôme $X^{n} - 1$ n'a que des racines simples dans $\mathbb{C}$ .

Corrigé

1. Fausse. Les termes dominants peuvent se compenser : $(X^{2} + X) + (-X^{2})$ est de degré $1$ . Seule l'inégalité $\deg(P + Q) \leqslant \max(\deg P, \deg Q)$ est vraie (proposition 3).

2. Vraie. Les racines non réelles vont par paires de conjuguées de même multiplicité (proposition 18) : leur nombre total est pair, donc il reste au moins une racine réelle. C'est aussi la proposition 13 du chapitre 8.

3. Fausse. $X^{4} + 1 = (X^{2} - \sqrt{2}X + 1)(X^{2} + \sqrt{2}X + 1)$ n'a pas de racine réelle.

4. Vraie. Par la proposition 12, $P'(a) = 0$ et $P''(a) \neq 0$ , donc $a$ est racine simple de $P'$ .

5. Vraie. C'est la proposition 16 (ii).

6. Fausse. Le reste $\alpha X + \beta$ vérifie $\alpha + \beta = P(1)$ et $-\alpha + \beta = P(-1)$ , donc il vaut $\frac{P(1) - P(-1)}{2}X + \frac{P(1) + P(-1)}{2}.$ Pour $P = X$ , la formule proposée donnerait $X - 1$ au lieu de $X$ .

7. Fausse. Le nombre de racines est $n$ seulement si on les compte avec leur multiplicité : $X^{2}$ n'a que la racine $0$ .

8. Vraie. $X^{3} + 1 = X(X^{2} + 1) + (1 - X)$ , et le reste est de degré $1 < 2$ (proposition 22).

9. Vraie. C'est la proposition 23.

10. Vraie. Les $n$ racines $n$ -ièmes de l'unité sont distinctes, et elles sont toutes les racines (proposition 17). On peut aussi invoquer l'exercice 33 : $(X^{n} - 1) \wedge nX^{n - 1} = 1$ . $\boxed{\text{vraies : 2, 4, 5, 8, 9, 10 ; \quad fausses : 1, 3, 6, 7}}$

Énoncé PDF, p. 9 Corrigé PDF, p. 19 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

L'anneau A[X], degré et intégrité Division euclidienne des polynômes Racines et multiplicités Dérivée formelle et racines multiples K[X] est principal ; PGCD et Bézout Polynômes irréductibles et factorisation unique Théorème de d'Alembert-Gauss La fonction exponentielle Corps des fractions d'un anneau intègre

Thèmes

degré, division euclidienne, racines, multiplicité, polynôme dérivé, pgcd et bézout, factorisation, polynômes complexes

Notions

multiplicité d'une racine, dérivée formelle, PGCD, polynôme irréductible, corps des fractions