Exercice 56

1. Si $N$ divise $m$, alors $\omega^{m} = 1$, et la somme vaut $N$. Sinon, $\omega^{m} \neq 1$ (chapitre 4), et la somme géométrique vaut $$\sum_{j = 0}^{N - 1} (\omega^{m})^{j} = \frac{(\omega^{N})^{m} - 1}{\omega^{m} - 1} = 0.$$

$$\boxed{\sum_{j = 0}^{N - 1} \omega^{jm} = N \text{ si } N \mid m, \qquad 0 \text{ sinon}}$$ C'est le calcul de l'exercice 14, où l'on prenait $m = 1$ et $m = 2$.

2. Avec $c_{n} = 1$, on a $P(R\omega^{j}) = \sum_{k = 0}^{n} c_{k}R^{k}\omega^{jk}$, et l'on intervertit les deux sommes finies : $$\sum_{j = 0}^{N - 1} \omega^{-jn}P(R\omega^{j}) = \sum_{k = 0}^{n} c_{k}R^{k}\sum_{j = 0}^{N - 1} \omega^{j(k - n)}.$$ Pour $0 \leqslant k \leqslant n - 1$, on a $1 \leqslant n - k \leqslant n < N$, donc $N$ ne divise pas $k - n$, et la somme intérieure est nulle d'après la question 1. Il ne reste que le terme $k = n$, qui vaut $c_{n}R^{n}N = NR^{n}$.

3. Comme $|\omega^{-jn}| = 1$, l'inégalité triangulaire donne $$NR^{n} \leqslant \sum_{j = 0}^{N - 1} |P(R\omega^{j})| \leqslant N\max_{0 \leqslant j \leqslant N - 1} |P(R\omega^{j})|,$$ d'où un indice $j$ tel que $|P(R\omega^{j})| \geqslant R^{n}$. Le point $M$ d'affixe $R\omega^{j}$ est sur $\Gamma$, et $$|P(R\omega^{j})| = \prod_{k = 1}^{n} |R\omega^{j} - a_{k}| = \prod_{k = 1}^{n} MA_{k}.$$

$$\boxed{\exists M \in \Gamma, \quad MA_{1} \times \cdots \times MA_{n} \geqslant R^{n}}$$ On a même trouvé $M$ parmi les sommets d'un polygone régulier à $n + 1$ côtés inscrit dans $\Gamma$, fixé à l'avance, indépendamment des points $A_{k}$.

4. Si tous les points $A_{k}$ sont en $O$, le produit vaut $R^{n}$ pour tout $M \in \Gamma$ : aucune constante strictement plus grande ne convient. Supposons maintenant que les $A_{k}$ soient les sommets d'un polygone régulier inscrit, d'affixes $\lambda\zeta^{k}$, avec $\lambda = R\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ et $\zeta = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}$. En composant la factorisation de la proposition 17 avec $\frac{X}{\lambda}$ et en multipliant par $\lambda^{n}$, on obtient $$P = \prod_{k = 0}^{n - 1} (X - \lambda\zeta^{k}) = X^{n} - \lambda^{n} = X^{n} - R^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\theta}.$$ Pour $|z| = R$, on a $|z^{n} - R^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\theta}| \leqslant 2R^{n}$, avec égalité si et seulement si $z^{n} = -R^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\theta}$, ce qui a lieu pour $z = R\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta + \pi/n)}$ ; et le produit est nul aux sommets. $$\boxed{\max_{M \in \Gamma} \prod_{k} MA_{k} = 2R^{n} \ \text{(milieux des arcs)}, \qquad \min_{M \in \Gamma} \prod_{k} MA_{k} = 0 \ \text{(sommets)}}$$

À retenir. Le résultat géométrique est un énoncé sur les polynômes unitaires : un tel polynôme de degré $n$ ne peut pas être de module strictement inférieur à $R^{n}$ en tout point du cercle de rayon $R$, et $X^{n}$ montre que la borne est atteinte. L'exercice 60 établissait un phénomène analogue aux entiers $0, \dots, n$, avec la décomposition en éléments simples au lieu des racines de l'unité.