Exercice 57

1. Comme $\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3} = 0$ (théorème 4) et $1 + j + j^{2} = 0$, on pose $$u = \frac{\alpha_{1} + j^{2}\alpha_{2} + j\alpha_{3}}{3}, \qquad v = \frac{\alpha_{1} + j\alpha_{2} + j^{2}\alpha_{3}}{3},$$ et l'on vérifie les trois égalités ; par exemple $u + v = \frac{2\alpha_{1} - \alpha_{2} - \alpha_{3}}{3} = \alpha_{1}$. L'unicité vient de ce que $u + v$ et $ju + j^{2}v$ déterminent $u$ et $v$, le déterminant $j^{2} - j$ étant non nul.

2. En développant, $(u + v)(ju + j^{2}v)(j^{2}u + jv) = u^{3} + v^{3}$, et $\sigma_{2} = -3uv$. Le théorème 4 donne $\sigma_{3} = -q$ et $\sigma_{2} = p$. $$\boxed{uv = -\frac{p}{3}, \qquad u^{3} + v^{3} = -q}$$

3. Donc $u^{3} + v^{3} = -q$ et $u^{3}v^{3} = -\frac{p^{3}}{27}$ : ce sont les racines de $X^{2} + qX - \frac{p^{3}}{27}$ (chapitre 4, théorème 4).

4. On calcule les racines $U$ et $V$ de $Q$, on choisit une racine cubique $u$ de $U$, puis $v = -\frac{p}{3u}$ (si $p \neq 0$) ; les racines sont $u + v$, $ju + j^{2}v$, $j^{2}u + jv$.

5. Pour $aX^{3} + bX^{2} + cX + d$, on divise par $a$ et l'on pose $X = Y - \frac{b}{3a}$, ce qui supprime le terme en $Y^{2}$ : on est ramené à $Y^{3} + pY + q$.

6. Une racine multiple $x$ annule $P' = 3X^{2} + p$, donc $x^{2} = -\frac{p}{3}$, et $P(x) = x(x^{2} + p) + q = \frac{2p}{3}x + q = 0$. Si $p \neq 0$, $x = -\frac{3q}{2p}$, et $x^{2} = -\frac{p}{3}$ s'écrit $27q^{2} + 4p^{3} = 0$ ; si $p = 0$, il faut $q = 0$, ce qui est encore cette condition. $$\boxed{X^{3} + pX + q \text{ a une racine multiple} \iff 4p^{3} + 27q^{2} = 0}$$

7. Si $4p^{3} + 27q^{2} > 0$, le discriminant $q^{2} + \frac{4p^{3}}{27}$ de $Q$ est positif : $u^{3}$ et $v^{3}$ sont réels et distincts, on prend $u$, $v$ réels, et $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ sont non réels, conjugués. Si $4p^{3} + 27q^{2} = 0$, $u^{3} = v^{3}$ est réel, $u = v$ réel, et les racines $2u$, $-u$, $-u$ sont réelles. Si $4p^{3} + 27q^{2} < 0$, alors $p < 0$, $u^{3}$ et $v^{3}$ sont conjugués non réels, on peut choisir $v = \overline{u}$ puisque $u\overline{u} = -\frac{p}{3} > 0$, et les trois racines $u + \overline{u}$, $ju + \overline{ju}$, $j^{2}u + \overline{j^{2}u}$ sont réelles. $$\boxed{\text{les trois racines sont réelles} \iff 4p^{3} + 27q^{2} \leqslant 0}$$ C'est le « cas irréductible » de Cardan : lorsque les trois racines sont réelles et distinctes, la formule passe nécessairement par des nombres complexes, comme l'annonçait l'introduction du chapitre 4.