Exercice 13

Si $F = E$, alors $E \setminus F = \varnothing$ et $\mathrm{Vect}(\varnothing) = \{0\}$. Supposons $F \neq E$ et choisissons $a \in E \setminus F$. Le sous-espace $\mathrm{Vect}(E \setminus F)$ contient $E \setminus F$. Il contient aussi $F$ : si $x \in F$, alors $x + a \notin F$, sinon $a = (x + a) - x$ appartiendrait à $F$, de sorte que $x = (x + a) - a$ est différence de deux éléments de $E \setminus F$. $$\boxed{\mathrm{Vect}(E \setminus F) = E \text{ si } F \neq E, \qquad \mathrm{Vect}(E \setminus F) = \{0\} \text{ si } F = E}$$ À retenir. Le complémentaire d'un sous-espace strict est « gros » : il engendre tout l'espace, ce qui confirme qu'on ne le confond pas avec un supplémentaire.