Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 14

Espaces vectoriels et applications linéaires

85 exercices corrigés · 17 44 18 6

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Espaces vectoriels

Exercice 1 Les lois suivantes munissent-elles l'ensemble considéré d'une structure de ℝ -espace vectoriel ? 1. Sur ℝ^2: (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y') et…
Exercice 2 Soit n ∈ ℕ^(). Munir l'ensemble ]-1, 1[^n d'une structure de ℝ -espace vectoriel. On pourra transporter la structure de ℝ^n à l'aide d'une bijection…
Exercice 3 1. Le vecteur (3, 3, 1) de ℝ^3 est-il combinaison linéaire des vecteurs (1, 2, 0) et (2, 1, 0) ? des vecteurs (1, 2, 0) et (1, 1, 1) ? 2. Pour…
Exercice 4 La fonction Arctan est-elle, dans F(ℝ, ℝ), combinaison linéaire des fonctions x ↦ e^x^2, x ↦ e^(-x) et sin ?

Sous-espaces vectoriels

Exercice 5 Les parties suivantes de ℝ^2 ou de ℝ^3 en sont-elles des sous-espaces vectoriels ? 1. (x, y) ∈ ℝ^2 mid x = y; 2. (x, y) ∈ ℝ_(+)^2 mid x = y; 3. (x,…
Exercice 6 Soit n ≥ 2. Les parties suivantes de ℝ^n en sont-elles des sous-espaces vectoriels ? 1. (x_1, …, x_n) ∈ ℝ^n | Σ_(i = 1)^n x_i = 0; 2. (x_1, …, x_n)…
Exercice 7 Les parties suivantes de ℝ^ℕ en sont-elles des sous-espaces vectoriels ? begin array{ll} (i) les suites croissantes; & (vii) les suites…
Exercice 8 Les parties suivantes de ℝ[X] ou de F(ℝ, ℝ) en sont-elles des sous-espaces vectoriels ? Le polynôme P ∈ ℝ[X], l'entier n et les réels x_0, y_0 sont…
Exercice 9 On pose a = (-1, 2, 1), b = (0, 1, -1), u = (1, 0, -3) et v = (-2, 5, 1), quatre vecteurs de ℝ^3. 1. Déterminer un vecteur w ∈ ℝ^3 n'appartenant pas…
Exercice 10 Voici des sous-espaces vectoriels de ℝ^3, donnés soit comme sous-espaces engendrés, soit par une ou deux équations. Pour chacun, donner une…
Exercice 11 1. Dans F([-1, 1], ℝ), montrer que le sous-espace Vect (x ↦ cos (2x), cos ^2, sin ^2) peut s'écrire Vect(f, g) pour deux fonctions f et g bien…
Exercice 12 1. Déterminer le sous-espace de C(ℝ, ℝ) engendré par les fonctions positives. 2. Déterminer le sous-espace de ℝ[X] engendré par les polynômes P tels…
Exercice 13 Soit F un sous-espace vectoriel de E. Déterminer Vect(E setminus F).

Familles de vecteurs

Exercice 14 1. Montrer que ((-1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 1, -1)) est une base de ℝ^3 et déterminer les coordonnées de (3, 7, -2) dans cette base. 2. On pose F =…
Exercice 15 1. Les familles ((1, 2, 3), (-1, 4, 6)) et ((1, 2, -1), (1, 0, 1), (-1, 2, -3)) de ℝ^3 sont-elles libres ? 2. Soit v_1 = (1, 1, 0), v_2 = (4, 1, 4)…
Exercice 16 Soit n ≥ 2 et (e_1, …, e_n) une famille libre de E. 1. Montrer que la famille (e_1 + e_2, e_2 + e_3, …, e_(n - 1) + e_n) est libre. 2. Pour k ∈ […
Exercice 17 Soit (e_1, …, e_n) une famille libre de E et (λ_1, …, λ_n) ∈ K^n. On pose u = Σ_(k = 1)^n λ_ke_k et, pour i ∈ [ [1;n] ], v_i = u + e_i. Montrer que…
Exercice 18 1. Montrer que les suites (1)_(n ∈ ℕ), (n^2)_(n ∈ ℕ) et (2^n)_(n ∈ ℕ) sont linéairement indépendantes dans ℝ^ℕ. 2. Montrer que les fonctions cos,…
Exercice 19 Déterminer si les familles suivantes sont des bases de K_2[X] et, le cas échéant, donner les coordonnées de X^2 + X + 1 dans cette base. (i) (1, X -…
Exercice 20 Soit n ∈ ℕ. Pour k ∈ [ [0;n] ], on pose P_k = (X + 1)^(k + 1) - X^(k + 1). Montrer que (P_0, …, P_n) est une base de K_n[X].
Exercice 21 Construire une famille libre infinie de ℝ^ℕ dont aucun élément n'est une suite nulle à partir d'un certain rang.
Exercice 22 1. Montrer que la famille (x ↦ e^(α x))_(α ∈ ℝ) est libre dans F(ℝ, ℝ). 2. Montrer que la famille (x ↦ |x - α|)_(α ∈ ℝ) est libre dans F(ℝ, ℝ).
Exercice 23 1. Montrer que la famille (cos ^n)_(n ∈ ℕ) est libre dans F(ℝ, ℝ). 2. Montrer que Vect(cos ^n)_(n ∈ ℕ) = Vect (x ↦ cos (nx))_(n ∈ ℕ). 3. Montrer que…
Exercice 24 Soit a ≠ b deux nombres complexes et n ∈ ℕ. Montrer que ((X - a)^k(X - b)^(n - k))_(0 ≤ k ≤ n) est une base de ℂ_n[X].
Exercice 25 1. Soit (x_1, …, x_p) une famille génératrice de E, et J = j ∈ [ [1;p] ] mid x_j ∉ Vect(x_1, …, x_(j - 1)). Montrer que (x_j)_(j ∈ J) est une base…

Somme de sous-espaces

Exercice 26 On pose F = Vect ((1, 1, 0), (0, 1, 1)) et G = Vect ((1, 1, 1)) dans ℝ^3. Déterminer F ∩ G et F + G.
Exercice 27 Dans ℝ^4, on pose E = (x, y, z, t) mid x - y + z - t = 0 F = Vect ((1, 1, 1, 1)), G = (x, y, z, t) mid x + z = y + t = 0. Montrer que E = F oplus G.
Exercice 28 Dans ℝ^4, montrer que F = (x, y, z, t) mid x + y + z + t = 0 et G = (2a, -a, 0, a) mid a ∈ ℝ sont supplémentaires.
Exercice 29 Montrer que P ∈ ℝ_3[X] mid P(X^2) = X^2P(X) et P ∈ ℝ_3[X] mid P(1) = P(2) sont deux sous-espaces supplémentaires de ℝ_3[X].
Exercice 30 1. Soit E l'espace des suites réelles convergentes. Montrer que l'ensemble des suites constantes et l'ensemble des suites de limite nulle sont deux…
Exercice 31 Soit n ∈ ℕ. Montrer que F = f ∈ C^∞(ℝ, ℝ) mid f(x) underset x → 0= o(x^n) est un sous-espace vectoriel de C^∞(ℝ, ℝ), et en trouver un supplémentaire.
Exercice 32 1. Soit F l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ de période 1, et G l'ensemble des fonctions de ℝ dans ℝ de limite nulle en +∞. Montrer que la somme F…
Exercice 33 Soit a_0, …, a_n des éléments distincts de K et, pour j ∈ [ [0;n] ], F_j = P ∈ K_n[X] mid P(a_i) = 0 pour tout i ≠ j. Montrer que K_n[X] = F_0 oplus…
Exercice 34 Soit A, B, C trois sous-espaces vectoriels de E. 1. Montrer que A ∩ B = A + B si et seulement si A = B. 2. Montrer que (A ∩ B) + (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B +…
Exercice 35 Soit F, G, H trois sous-espaces vectoriels de E tels que (F ∩ G) oplus H = G. Montrer que la somme F + H est directe et que F + G = F oplus H.

Applications linéaires

Exercice 36 Les applications suivantes sont-elles linéaires ? On ne demande pas de justifier les réponses positives évidentes, mais de démontrer les réponses…
Exercice 37 Montrer que les applications suivantes sont linéaires, et déterminer leurs noyaux et leurs images. 1. (x, y) ↦ (x + 2y, -2x - 4y), sur ℝ^2; 2. (x,…
Exercice 38 1. Soit f: (x, y, z) ↦ (x - y + z, 2x + y + 2z). Montrer que f ∈ L(ℝ^3, ℝ^2), déterminer une base de Ker f et l'image de f. L'application f est-elle…
Exercice 39 1. Soit E = (u_n) ∈ ℝ^ℕ mid u_0 = 0 et Δ: (u_n) ↦ (u_(n + 1) - u_n). Montrer que E est un sous-espace vectoriel de ℝ^ℕ et que Δ est un isomorphisme…
Exercice 40 Soit n ≥ 1 et ω > 0. 1. Montrer que T_n: P ↦ P'' + ω^2P est un endomorphisme de ℝ_n[X]. 2. En calculant T_n(1), T_n(X), …, T_n(X^n), montrer que T_n…
Exercice 41 On note Δ: P ↦ P(X + 1) - P(X), et Δ_n sa restriction à ℝ_n[X] pour n ∈ ℕ. 1. Montrer que Δ est un endomorphisme de ℝ[X], et que Δ_n est un…
Exercice 42 Montrer que f: P ↦ P(2X) - P(X) est un endomorphisme de ℝ[X], et déterminer son noyau et son image.
Exercice 43 Soit u l'endomorphisme de ℝ^3 défini par u(x, y, z) = (-√2 x + z, √2 y + z, x + y). 1. Donner une base de Ker u, de Ker (u - 2 id) et de Ker (u + 2…
Exercice 44 1. Soit f, g ∈ L(E) tels que f ∘ g - g ∘ f = f. Montrer que f^n ∘ g - g ∘ f^n = nf^n pour tout n ∈ ℕ. 2. Soit f ∈ L(E) nilpotent, c'est-à-dire tel…
Exercice 45 1. Soit f, g ∈ L(E) tels que f ∘ g = g ∘ f. Montrer que Ker f et Im f sont stables par g. 2. Soit f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G). Montrer que g ∘ f = 0…
Exercice 46 Soit f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G). 1. Montrer que Ker f ⊂ Ker (g ∘ f), et que Ker f = Ker (g ∘ f) si et seulement si Im f ∩ Ker g = 0. 2. Montrer que…
Exercice 47 Soit f ∈ L(E, F). 1. Soit E_1 et E_2 deux sous-espaces de E. Montrer l'équivalence f(E_1) ⊂ f(E_2) ⇔ E_1 + Ker f ⊂ E_2 + Ker f. 2. Soit E' un…
Exercice 48 1. Soit u ∈ L(E, F) et S_1, S_2 deux sous-espaces de E. Montrer que u(S_1 + S_2) = u(S_1) + u(S_2). On suppose de plus u injective et la somme S_1 +…
Exercice 49 Soit f ∈ L(E). 1. Montrer que Im f ∩ Ker f = 0 si et seulement si Ker f^2 = Ker f. 2. Montrer que Im f + Ker f = E si et seulement si Im f^2 = Im f.…
Exercice 50 Soit f ∈ L(E, F) et h ∈ L(E, G) tels que Ker f ⊂ Ker h. 1. Montrer qu'il existe une unique application g: Im f → G telle que g ∘ f = h. 2. Montrer…
Exercice 51 Soit G et H deux sous-espaces supplémentaires de E, et A = u ∈ L(E, F) mid G ⊂ Ker u. Montrer que A est un sous-espace vectoriel de L(E, F),…
Exercice 52 Caractérisation des homothéties. Soit u ∈ L(E) tel que, pour tout x ∈ E, les vecteurs x et u(x) soient colinéaires. Montrer que u est une homothétie.

Endomorphismes, projecteurs et symétries

Exercice 53 Dans ℝ^3, on pose F = (x, y, z) mid x + y - z = 0 et G = Vect ((1, 1, 3)). 1. Montrer que F et G sont supplémentaires. 2. Déterminer le projeté de…
Exercice 54 On pose F = (x, y, z) ∈ ℝ^3 mid x - y + 3z = 0 et G = (x, y, z) ∈ ℝ^3 mid x + y - z = 0 et 2x + z = 0. 1. Montrer que F et G sont supplémentaires…
Exercice 55 1. Soit p: (x, y, z) ↦ 1/3 (2x + y + z, x + 2y - z, x - y + 2z). Montrer que p est un projecteur de ℝ^3, et déterminer ses éléments…
Exercice 56 Soit S_1 et S_2 deux sous-espaces supplémentaires de E. On note p_1 (resp. p_2) le projecteur sur S_1 parallèlement à S_2 (resp. sur S_2…
Exercice 57 Soit p et q deux projecteurs de E. 1. Montrer que, si p et q commutent, p ∘ q est un projecteur. 2. Montrer que p + q est un projecteur si et…
Exercice 58 Soit p, q ∈ L(E) tels que p + q = id_E et p ∘ q = 0. 1. Montrer que p et q sont des projecteurs et que q ∘ p = 0. 2. Montrer que Im p = Ker q et Im…
Exercice 59 Soit f, g ∈ L(E). 1. On suppose que g est un projecteur et que Ker g et Im g sont stables par f. Montrer que f et g commutent. 2. Donner un…
Exercice 60 Soit E un ℂ -espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que f^2 = - id_E. 1. Montrer que f est un automorphisme de E. 2. On pose F = x ∈ E mid f(x) = i x et G…
Exercice 61 Soit (e_1, …, e_n) une base de E. Pour i ∈ [ [1;n] ], on note p_i le projecteur sur Vect(e_i) parallèlement à Vect(e_j)_(j ≠ i). Montrer que p_i ∘…
Exercice 62 Lemme des noyaux, cas quadratique. Soit α ≠ β deux scalaires et f ∈ L(E) tel que (f - α id_E) ∘ (f - β id_E) = 0. 1. Déterminer deux scalaires a et…
Exercice 63 Soit p et q deux projecteurs de E. 1. Montrer que, si p ∘ q + q ∘ p = 0, alors p ∘ q = q ∘ p = 0. 2. En déduire que p - q est un projecteur si et…

Formes linéaires et hyperplans

Exercice 64 1. Soit n ≥ 1. Montrer que H = P ∈ ℝ_n[X] mid P(0) + P'(1) = 0 est un hyperplan de ℝ_n[X], et donner une droite supplémentaire de H. 2. Montrer que…
Exercice 65 Soit E = C([0, 1], ℝ) et φ: f ↦ ∫_0^1 f(t) d t. 1. Montrer que H = Ker φ est un hyperplan de E, et que E = H oplus ℝ 1, où 1 est la fonction…
Exercice 66 Soit φ et psi deux formes linéaires sur E telles que Ker φ ⊂ Ker psi. Montrer qu'il existe λ ∈ K tel que psi = λφ. On distinguera le cas où φ est…

Sous-espaces affines

Exercice 67 Dans ℝ^3, on considère le plan affine P d'équation x + 2y - z = 3 et les droites affines D_1 = (1, 1, 0) + ℝ(1, 0, 1), D_2 = ℝ(1, 0, 1), D_3 = (0,…
Exercice 68 Résoudre les équations suivantes, en les écrivant sous la forme u(x) = b avec u linéaire. 1. P(X + 1) - P(X) = X^2, d'inconnue P ∈ ℝ[X]. 2. u_(n +…
Exercice 69 Soit A et B deux sous-espaces affines de E, de directions F et G. 1. On suppose que F oplus G = E. Montrer que A ∩ B est un singleton. 2. On suppose…

Exercices de synthèse

Exercice 70 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. Les lettres F, G, H désignent des sous-espaces de E, et u, p des…
Exercice 71 Soit n ∈ ℕ. 1. Montrer qu'il existe un unique polynôme P_n ∈ ℝ[X] tel que P_n(X) + P_n(X + 1) = 2X^n. 2. Trouver une relation entre P_(n + 1)' et…
Exercice 72 Soit F et G deux sous-espaces supplémentaires de E. Pour f ∈ L(F, G), on pose V_f = x + f(x) mid x ∈ F. 1. Soit S un supplémentaire de G. Montrer…
Exercice 73 Soit u, v ∈ L(E) tels que u ∘ v = v ∘ u et Ker u ∩ Ker v = 0. Montrer que Ker (u^i) ∩ Ker (v^j) = 0 pour tous i, j ∈ ℕ.
Exercice 74 Soit u et v deux symétries d'un ℝ -espace vectoriel E. 1. Montrer que Ker (u ∘ v - v ∘ u) = Ker (u + v) oplus Ker (u - v). 2. Montrer que Im(u ∘ v -…
Exercice 75 Théorème de Maschke. Soit G un sous-groupe fini du groupe GL(E), F un sous-espace de E stable par tous les éléments de G, et p un projecteur de E…
Exercice 76 Soit f et g les endomorphismes de ℝ[X] définis par f(P) = P' et g(P) = P(0), la constante P(0) étant vue comme un polynôme. 1. Déterminer Ker f, Ker…
Exercice 77 Lemme des noyaux à trois facteurs; une récurrence et une équation différentielle d'ordre 3. Soit E un ℂ -espace vectoriel, a, b, c trois nombres…
Exercice 78 Moyennes glissantes. Soit F l'ensemble des suites réelles u telles que ∀ n ∈ ℕ, u_(n + 3) = (u_n + u_(n + 1) + u_(n + 2))/3. 1. Montrer que F est un…
Exercice 79 La fonction identité est la somme de deux fonctions périodiques. Dans cet exercice, ℝ est vu comme un ℚ -espace vectoriel, pour l'addition des réels…
Exercice 80 Soit E un sous-espace vectoriel de K^n tel que tout vecteur non nul de E ait toutes ses coordonnées non nulles. Montrer qu'il existe v ∈ E tel que E…
Exercice 81 Soit F, G, H trois sous-espaces vectoriels de E tels que F + H = G + H, F ∩ H = G ∩ H et F ⊂ G. Montrer que F = G. Montrer que la conclusion ne…
Exercice 82 Soit f ∈ C(ℝ, ℝ). À quelle condition la famille (f^n)_(n ∈ ℕ) est-elle liée ?
Exercice 83 Soit D: P ↦ P', endomorphisme de ℝ[X]. Existe-t-il f ∈ L(ℝ[X]) tel que f ∘ f = D ?
Exercice 84 Soit φ: ℝ^ℕ → ℝ une forme linéaire telle que, pour toute suite u, le réel φ(u) soit l'un des termes de u. Montrer qu'il existe n ∈ ℕ tel que φ(u) =…
Exercice 85 Pseudo-inverse. Soit f ∈ L(E). On dit que g ∈ L(E) est un pseudo-inverse de f si f ∘ g = g ∘ f, f ∘ g ∘ f = f et g ∘ f ∘ g = g. Montrer que f admet…