ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Formes linéaires et hyperplans

Exercice 65

Démonstration

Soit $E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$ et $\varphi : f \mapsto \int_{0}^{1} f(t)\,\mathrm{d} t$ .

1. Montrer que $H = \mathrm{Ker}\, \varphi$ est un hyperplan de $E$ , et que $E = H \oplus \mathbb{R}\,\mathbf{1}$ , où $\mathbf{1}$ est la fonction constante égale à $1$ .

2. Expliciter le projecteur sur $H$ parallèlement à $\mathbb{R}\,\mathbf{1}$ .

3. Montrer que $\psi : f \mapsto f(0)$ est une forme linéaire non nulle, et que $\mathrm{Ker}\, \varphi \neq \mathrm{Ker}\, \psi$ .

Corrigé

1. La forme $\varphi$ est linéaire par linéarité de l'intégrale, et non nulle puisque $\varphi(\mathbf{1}) = 1$ : $H$ est un hyperplan, et $\mathbf{1} \notin H$ . Le théorème 7 conclut.

2. La décomposition est $f = \big(f - \varphi(f)\mathbf{1}\big) + \varphi(f)\mathbf{1}$ . $\boxed{p(f) = f - \Big(\int_{0}^{1} f(t)\,\mathrm{d} t\Big)\mathbf{1}}$ On retranche à $f$ sa valeur moyenne : le projeté est la fonction « centrée ».

3. La forme $\psi$ est non nulle, puisque $\psi(\mathbf{1}) = 1$ . La fonction $g : t \mapsto 1 - 2t$ vérifie $\varphi(g) = 0$ et $\psi(g) = 1$ : elle est dans $\mathrm{Ker}\,\varphi$ , mais pas dans $\mathrm{Ker}\,\psi$ . $\boxed{\mathrm{Ker}\,\varphi \neq \mathrm{Ker}\,\psi}$

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Dans l'édifice

Espace dual Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Applications linéaires Espaces vectoriels et sous-espaces

Thèmes

formes linéaires et hyperplans, sommes directes, applications linéaires, projecteurs, formes linéaires, espaces de fonctions et de suites

Notions

forme linéaire, supplémentaire, somme directe, application linéaire, projecteur