ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Formes linéaires et hyperplans

Exercice 64

Démonstration

1. Soit $n \geqslant 1$ . Montrer que $H = \{P \in \mathbb{R}_{n}[X] \mid P(0) + P'(1) = 0\}$ est un hyperplan de $\mathbb{R}_{n}[X]$ , et donner une droite supplémentaire de $H$ .

2. Montrer que $H' = \{f \in \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R}) \mid f(0) = f(1)\}$ est un hyperplan de $\mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$ , et que la droite engendrée par $x \mapsto x$ en est un supplémentaire.

3. Dans $\mathbb{R}^{3}$ , les équations $x + 2y - 3z = 0$ et $-2x - 4y + 6z = 0$ définissent-elles le même plan ? Et $x + 2y - 3z = 0$ et $x - y = 0$  ?

Corrigé

1. L'application $\varphi : P \mapsto P(0) + P'(1)$ est une forme linéaire, non nulle puisque $\varphi(1) = 1$ . Son noyau $H$ est un hyperplan, et la droite $\mathbb{R}_{0}[X]$ des constantes n'est pas contenue dans $H$ : par le théorème 7, c'est un supplémentaire. $\boxed{\mathbb{R}_{n}[X] = H \oplus \mathbb{R}_{0}[X], \qquad P = \big(P - \varphi(P)\big) + \varphi(P)}$

2. La forme linéaire $f \mapsto f(1) - f(0)$ est non nulle, et vaut $1$ en $x \mapsto x$ : même conclusion.

3. La seconde équation est $-2$ fois la première : c'est le même plan (proposition 23). En revanche, $(1, -1, 0)$ n'est pas proportionnel à $(1, 2, -3)$ : les plans sont distincts. $\boxed{\text{Même plan dans le premier cas, plans distincts dans le second.}}$

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Dans l'édifice

Espace dual Sommes finies et combinaisons linéaires Sommes directes, supplémentaires, projecteurs

Thèmes

formes linéaires et hyperplans, sous-espace engendré, sommes directes, formes linéaires

Notions

forme linéaire, combinaison linéaire, supplémentaire, somme directe