Exercice 63

1. C'est le calcul de l'exercice 57 : en composant $pq + qp = 0$ par $p$ à gauche puis à droite, on obtient $pq = -pqp = qp$, donc $2pq = 0$.

2. On a $(p - q)^{2} = p - pq - qp + q$, qui vaut $p - q$ si et seulement si $pq + qp = 2q$. Si $pq = qp = q$, c'est vrai. Réciproquement, on compose l'égalité $pq + qp = 2q$ par $q$ : à gauche, $qpq + qp = 2q$, et à droite, $pq + qpq = 2q$, d'où $qp = pq$, puis $2pq = 2q$. $$\boxed{p - q \text{ projecteur} \iff pq = qp = q}$$

3. En développant, avec $p^{2} = p$, $q^{2} = q$ et $pq = 0$, $$r^{2} = (p + q - qp)(p + q - qp) = p + qp + q - qp - qp = p + q - qp = r.$$ On a $\operatorname{Im} r \subset \operatorname{Im} p + \operatorname{Im} q$, puisque $r = p + q(\mathrm{id} - p)$. Réciproquement, $rp = p + qp - qp = p$ et $rq = pq + q - qpq = q$, donc $\operatorname{Im} p$ et $\operatorname{Im} q$ sont contenus dans $\operatorname{Im} r$. La somme est directe : si $y = p(a) = q(b)$, alors $y = p(y) = pq(b) = 0$. Enfin, $\mathrm{Ker}\, p \cap \mathrm{Ker}\, q \subset \mathrm{Ker}\, r$, et si $r(x) = 0$, alors $p(x) = pr(x) = 0$, car $pr = p$, puis $q(x) = r(x) - p(x) + qp(x) = 0$. $$\boxed{r \text{ est le projecteur sur } \operatorname{Im} p \oplus \operatorname{Im} q \text{ parallèlement à } \mathrm{Ker}\, p \cap \mathrm{Ker}\, q.}$$