ATLAS Ouvrir dans l'atlas →

ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Formes linéaires et hyperplans

Exercice 66

Démonstration

Soit φ\varphi et ψ\psi deux formes linéaires sur EE telles que Ker φ⊂Ker ψ\mathrm{Ker}\, \varphi \subset \mathrm{Ker}\, \psi. Montrer qu'il existe λ∈𝕂\lambda \in \mathbb{K} tel que ψ=λφ\psi = \lambda\varphi. On distinguera le cas où φ\varphi est nulle.

Corrigé

Si φ=0\varphi = 0, alors Ker φ=E⊂Ker ψ\mathrm{Ker}\,\varphi = E \subset \mathrm{Ker}\,\psi, donc ψ=0=0⋅φ\psi = 0 = 0 \cdot \varphi. Sinon, choisissons aa tel que φ(a)≠0\varphi(a) \neq 0 et posons λ=ψ(a)φ(a)\lambda = \frac{\psi(a)}{\varphi(a)}. La forme ψ−λφ\psi - \lambda\varphi s'annule sur Ker φ\mathrm{Ker}\,\varphi, par hypothèse, et en aa, donc sur Ker φ⊕𝕂a=E\mathrm{Ker}\,\varphi \oplus \mathbb{K} a = E (théorème 7). ψ=λφ\boxed{\psi = \lambda\varphi} La proposition 23 du cours est le cas où les deux noyaux sont égaux ; ici, ψ\psi peut être nulle, et λ\lambda aussi.

Énoncé PDF, p. 11Corrigé PDF, p. 20Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Espace dualApplications linéaires

Thèmes

formes linéaires et hyperplans, applications linéaires

Notions

forme linéaire, application linéaire

Ouvrir dans l'atlas interactif →