Exercice 67

La direction de $\mathcal{P}$ est le plan vectoriel $P$ d'équation $x + 2y - z = 0$, qui contient $(1, 0, 1)$ mais pas $(1, 1, 1)$. On substitue la représentation paramétrique de chaque droite dans l'équation de $\mathcal{P}$.

• $\mathcal{D}_{1}$ : $(1 + t) + 2 - t = 3$ pour tout $t$ ; la droite est contenue dans le plan.

• $\mathcal{D}_{2}$ : $t - t = 0 \neq 3$ ; l'intersection est vide.

• $\mathcal{D}_{3}$ : $t + 2(1 + t) - t = 3$, soit $t = \frac{1}{2}$ ; l'intersection est le point $\big(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\big)$.

$$\boxed{\mathcal{D}_{1} \subset \mathcal{P}, \qquad \mathcal{D}_{2} \cap \mathcal{P} = \varnothing, \qquad \mathcal{D}_{3} \cap \mathcal{P} = \Big\{\Big(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\Big)\Big\}}$$ Les droites $\mathcal{D}_{1}$ et $\mathcal{D}_{2}$ ont une direction contenue dans $P$ : elles sont parallèles au plan, et la proposition 25 dit que leur intersection avec $\mathcal{P}$ est vide ou égale à la droite entière. La direction de $\mathcal{D}_{3}$ rencontre $P$ en $0$ seulement, d'où une intersection réduite à un point.