Exercice 68

(i) L'application $\Delta : P \mapsto P(X + 1) - P(X)$ est linéaire, de noyau $\mathbb{R}_{0}[X]$ (exercice 41). Une solution particulière s'obtient en cherchant $P$ de degré $3$ : $P_{0} = \frac{X^{3}}{3} - \frac{X^{2}}{2} + \frac{X}{6}$, ce que l'on vérifie en développant. $$\boxed{P = \frac{X^{3}}{3} - \frac{X^{2}}{2} + \frac{X}{6} + c, \quad c \in \mathbb{R}}$$

(ii) L'application $u \mapsto (u_{n + 2} - 3u_{n + 1} + 2u_{n})_{n}$ est linéaire ; son noyau est formé des suites $\lambda + \mu 2^{n}$ (chapitre 7, l'équation caractéristique $r^{2} - 3r + 2 = 0$ ayant pour racines $1$ et $2$). Comme $1$ est racine, on cherche une solution particulière de la forme $(\alpha n)$ : $\alpha(n + 2) - 3\alpha(n + 1) + 2\alpha n = -\alpha = 1$. $$\boxed{u_{n} = -n + \lambda + \mu 2^{n}, \quad (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}}$$

(iii) L'application $y \mapsto y'' + y$ est linéaire, de noyau $\mathrm{Vect}(\cos, \sin)$, et $x \mapsto x$ est une solution particulière. $$\boxed{y(x) = x + \lambda\cos x + \mu\sin x}$$

(iv) L'application $P \mapsto (P(0), P(1), P(2))$ est linéaire, de noyau $X(X - 1)(X - 2)\mathbb{R}[X]$. Le polynôme $(X - 1)^{2}$ est une solution particulière, de degré au plus $2$, comme le prévoit le théorème de Lagrange. $$\boxed{P = (X - 1)^{2} + X(X - 1)(X - 2)A, \quad A \in \mathbb{R}[X]}$$ À retenir. Quatre problèmes de natures différentes ont la même structure de solutions : une solution particulière plus le noyau. C'est l'objet du théorème 8.