Exercice 69

1. Écrivons $\mathcal{A} = a + F$ et $\mathcal{B} = b + G$. On décompose $b - a = f + g$ avec $f \in F$ et $g \in G$ ; alors $a + f = b - g$ appartient aux deux sous-espaces, qui se rencontrent donc. Par la proposition 25, l'intersection est un sous-espace affine de direction $F \cap G = \{0\}$, c'est-à-dire un point. $$\boxed{\mathcal{A} \cap \mathcal{B} \text{ est un singleton.}}$$

2. L'existence de la décomposition $b - a = f + g$ n'utilise que $F + G = E$ : l'intersection n'est pas vide, et c'est un sous-espace affine de direction $F \cap G$. $$\boxed{\mathcal{A} \cap \mathcal{B} = c + (F \cap G) \text{ pour tout } c \in \mathcal{A} \cap \mathcal{B}}$$ Par exemple, dans $\mathbb{R}^{3}$, deux plans affines de directions distinctes ont pour directions deux plans dont la somme est $\mathbb{R}^{3}$ : ils se coupent selon une droite.