Exercice 70

1. Faux. Dans $\mathbb{R}^{2}$, la réunion des deux axes contient $(1, 0)$ et $(0, 1)$, mais pas $(1, 1)$ ; la proposition 5 dit que la réunion n'est un sous-espace que si l'un des deux contient l'autre.

2. Faux. L'exercice 15 en donne un contre-exemple : $v_{3} = v_{2} - 2v_{1}$, alors que les trois couples sont libres.

3. Vrai. Si $(x_{i})_{i \in I}$ contient une famille génératrice, son sous-espace engendré contient celui de la sous-famille, qui est $E$.

4. Faux. Les droites $\mathbb{R}(1, 0)$, $\mathbb{R}(0, 1)$ et $\mathbb{R}(1, 1)$ de $\mathbb{R}^{2}$ se coupent deux à deux en $0$, mais $$(1, 0) + (0, 1) - (1, 1) = 0$$ est une décomposition non triviale du vecteur nul (remarque suivant la proposition 14).

5. Vrai. Si $\sum \lambda_{k}u(x_{k}) = 0$, alors $u\big(\sum \lambda_{k}x_{k}\big) = 0$, donc $\sum \lambda_{k}x_{k} = 0$ par injectivité, et les $\lambda_{k}$ sont nuls par liberté.

6. Vrai. C'est l'exercice 45 avec $f = g = u$.

7. Vrai. On a $(\mathrm{id} - p)^{2} = \mathrm{id} - 2p + p^{2} = \mathrm{id} - p$ ; c'est le projecteur associé à la même décomposition, avec les rôles échangés (proposition 21).

8. Vrai. Pour tout $x$, $u\big(u(x) - x\big) = u^{2}(x) - u(x) = 0$, donc $u(x) - x \in \mathrm{Ker}\, u = \{0\}$.

9. Faux. Si $b \neq 0$, le vecteur nul n'est pas solution : l'ensemble des solutions est vide ou affine (théorème 8), et c'est un sous-espace vectoriel seulement si $b = 0$. Par exemple, $x = 1$ est la seule solution de $\mathrm{id}_{\mathbb{R}}(x) = 1$.

10. Vrai. Si $p(x) = 0$, alors $p(u(x)) = u(p(x)) = 0$ ; si $y = p(x)$, alors $u(y) = p(u(x)) \in \operatorname{Im} p$. C'est l'exercice 45. $$\boxed{\text{Vrai : 3, 5, 6, 7, 8, 10} \qquad \text{Faux : 1, 2, 4, 9}}$$