Exercice 71

1. Soit $\varphi : P \mapsto P(X) + P(X + 1)$, endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$. Si $P$ est de degré $d$ et de coefficient dominant $a$, alors $\varphi(P)$ est de degré $d$ et de coefficient dominant $2a$ : $\varphi$ conserve le degré. La famille $\big(\varphi(X^{k})\big)_{0 \leqslant k \leqslant n}$ est donc à degrés échelonnés, c'est une base de $\mathbb{R}_{n}[X]$, et la restriction de $\varphi$ à $\mathbb{R}_{n}[X]$ est un automorphisme (proposition 10 et théorème 4). Il existe donc un unique $P_{n} \in \mathbb{R}_{n}[X]$ tel que $\varphi(P_{n}) = 2X^{n}$ ; toute solution est de degré $n$, puisque $\varphi$ conserve le degré, donc c'est la seule dans $\mathbb{R}[X]$. $$\boxed{P_{n} \text{ existe et est unique ; il est unitaire de degré } n.}$$

2. En dérivant l'égalité qui définit $P_{n + 1}$, on obtient $P_{n + 1}'(X) + P_{n + 1}'(X + 1) = 2(n + 1)X^{n}$. Le polynôme $\frac{1}{n + 1}P_{n + 1}'$ vérifie donc la même équation que $P_{n}$, et l'unicité donne : $$\boxed{P_{n + 1}' = (n + 1)P_{n}}$$

3. (a) Chaque $P_{k}$ est de degré $k$ : la famille est à degrés échelonnés, c'est une base de $\mathbb{R}[X]$ (proposition 10).

(b) Les deux membres sont linéaires en $Q$, la somme étant finie ; il suffit de vérifier l'égalité pour $Q = X^{m}$. Par la formule du binôme, $$(X + 1)^{m} = \sum_{k = 0}^{m} \binom{m}{k}X^{m - k} = \sum_{k = 0}^{m} \frac{1}{k!}\frac{m!}{(m - k)!}X^{m - k} = \sum_{k = 0}^{m} \frac{(X^{m})^{(k)}}{k!}.$$

(c) En itérant la question 2, $P_{n}^{(k)} = \frac{n!}{(n - k)!}P_{n - k}$ pour $k \leqslant n$, et $P_{n}^{(k)} = 0$ pour $k > n$. La question (b) donne alors $$\boxed{P_{n}(X + 1) = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}P_{n - k} = \sum_{j = 0}^{n} \binom{n}{j}P_{j}}$$

4. Soit $Q = (-1)^{n}P_{n}(1 - X)$. L'égalité qui définit $P_{n}$, écrite au point $-X$, donne $$P_{n}(-X) + P_{n}(1 - X) = 2(-X)^{n},$$ donc $$Q(X) + Q(X + 1) = (-1)^{n}\big(P_{n}(1 - X) + P_{n}(-X)\big) = (-1)^{n} \cdot 2(-1)^{n}X^{n} = 2X^{n}.$$ Par unicité, $Q = P_{n}$. $$\boxed{P_{n}(1 - X) = (-1)^{n}P_{n}(X)}$$ Ce sont, à une normalisation près, les polynômes d'Euler. Par exemple, $P_{0} = 1$, $P_{1} = X - \frac{1}{2}$, $P_{2} = X^{2} - X$.