Exercice 72

1. Soit $S$ un supplémentaire de $G$ et $x \in F$. On décompose $x$ selon $E = S \oplus G$ : $x = s + g$. Le vecteur $y = -g$ convient. Si $y$ et $y'$ conviennent, $(x + y) - (x + y') = y - y'$ appartient à $S \cap G = \{0\}$.

2. Notons $f(x)$ ce vecteur $y$. L'unicité montre que $f$ est linéaire : $\lambda x + x' + \lambda f(x) + f(x')$ appartient à $S$, donc $f(\lambda x + x') = \lambda f(x) + f(x')$. Par construction, $V_{f} \subset S$. Réciproquement, tout $s \in S$ s'écrit $s = x + y$ avec $x \in F$ et $y \in G$, puisque $E = F \oplus G$ ; comme $x + y \in S$, on a $y = f(x)$, donc $s \in V_{f}$. Ainsi $S = V_{f}$.

Inversement, $V_{f}$ est un supplémentaire de $G$ pour tout $f \in \mathcal{L}(F, G)$. C'est l'image de l'application linéaire $x \mapsto x + f(x)$, donc un sous-espace ; si $x + f(x) \in G$, alors $x \in G \cap F = \{0\}$ ; enfin, $V_{f} + G$ contient $F$, puisque $x = \big(x + f(x)\big) - f(x)$, et $G$, donc $E$. L'unicité de $f$ vient de ce que, si $V_{f} = V_{g}$, alors $x + f(x) = x' + g(x')$ impose $x = x'$ et $f(x) = g(x)$, par unicité de la décomposition selon $F \oplus G$. $$\boxed{\text{Les supplémentaires de } G \text{ sont les } V_{f}, \ f \in \mathcal{L}(F, G), \text{ chacun pour un unique } f.}$$

3. L'application $x \mapsto x + f(x)$ est un isomorphisme de $F$ sur $V_{f}$, injectif car $x + f(x) = 0$ impose $x = 0$. Tous les supplémentaires de $G$ sont donc isomorphes à $F$, donc entre eux.

Correction de l'énoncé source. Le TD d'origine parlait des supplémentaires de $F$ ; c'est faux, puisque $V_{f} \cap F = \mathrm{Ker}\, f$ n'est pas nul en général.