Exercice 73

$\triangleright$ Le cas $j = 1$. Montrons par récurrence sur $i$ que $\mathrm{Ker}\, u^{i} \cap \mathrm{Ker}\, v = \{0\}$. C'est vrai pour $i = 0$ et $i = 1$. Si c'est vrai au rang $i$ et si $x \in \mathrm{Ker}\, u^{i + 1} \cap \mathrm{Ker}\, v$, alors $u(x) \in \mathrm{Ker}\, u^{i}$, et $v(u(x)) = u(v(x)) = 0$, donc $u(x) \in \mathrm{Ker}\, u^{i} \cap \mathrm{Ker}\, v = \{0\}$ ; ainsi $x \in \mathrm{Ker}\, u \cap \mathrm{Ker}\, v = \{0\}$.

$\triangleright$ Le cas général. Les endomorphismes $v$ et $u^{i}$ commutent, et $\mathrm{Ker}\, v \cap \mathrm{Ker}\, u^{i} = \{0\}$ d'après l'étape précédente. On applique cette étape au couple $(v, u^{i})$, dans lequel $v$ joue le rôle de $u$ : $$\boxed{\mathrm{Ker}\,(u^{i}) \cap \mathrm{Ker}\,(v^{j}) = \{0\} \quad \text{pour tous } i, j \in \mathbb{N}}$$