Exercice 74

Posons $a = u + v$, $b = u - v$ et $c = uv - vu$. Comme $u^{2} = v^{2} = \mathrm{id}$, on calcule $$ab = vu - uv = -c, \qquad ba = uv - vu = c, \qquad a^{2} + b^{2} = 2u^{2} + 2v^{2} = 4\,\mathrm{id}.$$ On vérifie aussi, en développant, que $ca = -ac$ et $cb = -bc$ : par exemple $ca = uvu - vuv + u - v$ et $ac = -uvu + vuv - u + v$.

1. Comme $c = ba = -ab$, on a $\mathrm{Ker}\, a \subset \mathrm{Ker}\, c$ et $\mathrm{Ker}\, b \subset \mathrm{Ker}\, c$. La somme est directe : si $a(x) = b(x) = 0$, alors $u(x) = 0$, puis $x = u^{2}(x) = 0$. Soit $x \in \mathrm{Ker}\, c$ ; on écrit $$x = \frac{1}{4}a^{2}(x) + \frac{1}{4}b^{2}(x).$$ Or $b\big(a^{2}(x)\big) = c\,a(x) = -a\,c(x) = 0$ et $a\big(b^{2}(x)\big) = -c\,b(x) = b\,c(x) = 0$ : le premier terme est dans $\mathrm{Ker}\, b$, le second dans $\mathrm{Ker}\, a$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\,(uv - vu) = \mathrm{Ker}\,(u + v) \oplus \mathrm{Ker}\,(u - v)}$$

2. Comme $c = ba = -ab$, on a $\operatorname{Im} c \subset \operatorname{Im} b \cap \operatorname{Im} a$. Réciproquement, soit $y = a(s) = b(t)$. Alors $$4y = a^{2}(y) + b^{2}(y) = a^{2}b(t) + b^{2}a(s) = -a\,c(t) + b\,c(s) = c\,a(t) - c\,b(s) \in \operatorname{Im} c.$$