Exercice 75

1. L'application $\pi$ est linéaire, comme combinaison de composées d'applications linéaires. Si $x \in E$ et $g \in G$, alors $p(g(x)) \in F$, puis $g^{-1}\big(p(g(x))\big) \in F$ puisque $g^{-1} \in G$ stabilise $F$ : $\operatorname{Im}\pi \subset F$. Si $y \in F$, alors $g(y) \in F = \operatorname{Im} p$, donc $p(g(y)) = g(y)$, et chaque terme de la somme vaut $y$ : $\pi(y) = y$. Par conséquent $\pi \circ \pi = \pi$ et $\operatorname{Im}\pi = F$. Enfin, pour $h \in G$, l'application $g \mapsto gh$ est une bijection de $G$ (chapitre 11), et $$\pi \circ h = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} h\,(gh)^{-1}\,p\,(gh) = h \circ \frac{1}{|G|}\sum_{g' \in G} g'^{-1}pg' = h \circ \pi.$$

2. Par le théorème 5, $S = \mathrm{Ker}\,\pi$ est un supplémentaire de $\operatorname{Im}\pi = F$. Il est stable par tout $h \in G$ : si $\pi(x) = 0$, alors $\pi(h(x)) = h(\pi(x)) = 0$ (exercice 45). $$\boxed{E = F \oplus \mathrm{Ker}\,\pi, \text{ avec } \mathrm{Ker}\,\pi \text{ stable par } G.}$$ Remarque. L'énoncé source supposait le corps de caractéristique nulle, pour pouvoir diviser par $|G|$ ; c'est automatique ici, puisque $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.