Exercice 76

1. Le noyau de $f$ est formé des constantes, et $f$ est surjective (exercice 41, ou primitive d'un polynôme). Le noyau de $g$ est $X\mathbb{R}[X]$, et son image est formée des constantes. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, f = \mathbb{R}_{0}[X], \quad \mathrm{Ker}\, g = X\mathbb{R}[X], \quad \operatorname{Im} f = \mathbb{R}[X], \quad \operatorname{Im} g = \mathbb{R}_{0}[X]}$$

2. Tout polynôme s'écrit $P(0) + \big(P - P(0)\big)$ : $\mathbb{R}[X] = \mathrm{Ker}\, f \oplus \mathrm{Ker}\, g$, et cette somme est directe. La somme $\operatorname{Im} f + \operatorname{Im} g$ vaut $\mathbb{R}[X]$, mais elle n'est pas directe, puisque $\operatorname{Im} g \subset \operatorname{Im} f$. $$\boxed{\mathbb{R}[X] = \mathrm{Ker}\, f \oplus \mathrm{Ker}\, g = \operatorname{Im} f + \operatorname{Im} g, \text{ la seconde somme n'étant pas directe}}$$