ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Sous-espaces vectoriels

Exercice 12

Calcul

1. Déterminer le sous-espace de $\mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ engendré par les fonctions positives.

2. Déterminer le sous-espace de $\mathbb{R}[X]$ engendré par les polynômes $P$ tels que $P(x) \geqslant 0$ pour tout réel $x$ .

Corrigé

1. Toute fonction continue $f$ s'écrit $f = f^{+} - f^{-}$ , avec $f^{+} = \max(f, 0)$ et $f^{-} = \max(-f, 0)$ , continues et positives. $\boxed{\mathrm{Vect}\{f \geqslant 0\} = \mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{R})}$

2. Tout polynôme $P$ s'écrit $P = \Big(\frac{P + 1}{2}\Big)^{2} - \Big(\frac{P - 1}{2}\Big)^{2}$ , différence de deux polynômes positifs sur $\mathbb{R}$ . $\boxed{\mathrm{Vect}\{P \geqslant 0 \text{ sur } \mathbb{R}\} = \mathbb{R}[X]}$

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Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Sommes finies et combinaisons linéaires L'anneau A[X], degré et intégrité

Thèmes

sous-espaces vectoriels, sous-espace engendré, espaces de polynômes, espaces de fonctions et de suites

Notions

sous-espace vectoriel, combinaison linéaire