Exercice 11

1. Comme $\cos(2x) = \cos^{2}x - \sin^{2}x$, la proposition 6 permet de supprimer le premier vecteur. Avec $1 = \cos^{2} + \sin^{2}$, on peut aussi remplacer $(\cos^{2}, \sin^{2})$ par $(1, \cos(2\,\cdot))$, puisque $\cos^{2} = \frac{1 + \cos(2\,\cdot)}{2}$ et $\sin^{2} = \frac{1 - \cos(2\,\cdot)}{2}$. $$\boxed{\mathrm{Vect}\big(\cos(2\,\cdot), \cos^{2}, \sin^{2}\big) = \mathrm{Vect}(\cos^{2}, \sin^{2}) = \mathrm{Vect}\big(1, \cos(2\,\cdot)\big)}$$

2. Par la proposition 11 du cours, $\mathrm{Vect}(B) + \mathrm{Vect}(C)$ est le plus petit sous-espace contenant $\mathrm{Vect}(B)$ et $\mathrm{Vect}(C)$, donc contenant $B \cup C$. $$\boxed{\mathrm{Vect}(B \cup C) = \mathrm{Vect}(B) + \mathrm{Vect}(C)}$$ Ensuite, $\mathrm{Vect}(A)$ est contenu dans $\mathrm{Vect}(A \cup B)$ et dans $\mathrm{Vect}(A \cup C)$, donc dans leur intersection. L'inclusion peut être stricte : dans $\mathbb{R}^{2}$, avec $A = \varnothing$, $B = \{e_{1}\}$ et $C = \{2e_{1}\}$, l'intersection vaut $\mathbb{R} e_{1}$, alors que $\mathrm{Vect}(A) = \{0\}$. $$\boxed{\mathrm{Vect}(A) \subset \mathrm{Vect}(A \cup B) \cap \mathrm{Vect}(A \cup C), \text{ inclusion stricte en général}}$$