Exercice 10

Pour passer d'équations à une famille génératrice, on résout le système en fonction de paramètres ; pour passer d'une famille génératrice à des équations, on cherche les formes linéaires qui s'annulent sur les vecteurs donnés.

(i) $z = x + 2y$, donc $(x, y, z) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 2)$ : $\boxed{\mathrm{Vect}\big((1, 0, 1), (0, 1, 2)\big)}$.

(ii) En retranchant les équations, $x = 2z$, puis $y = -3z$ : $\boxed{\mathrm{Vect}\big((2, -3, 1)\big)}$.

(iii) Une équation $\alpha x + \beta y + \gamma z = 0$ s'annule sur les deux vecteurs si $\alpha + 2\beta - \gamma = 0$ et $2\alpha + 3\beta - 3\gamma = 0$, d'où $(\alpha, \beta, \gamma)$ proportionnel à $(3, -1, 1)$ : $\boxed{3x - y + z = 0}$.

(iv) De même, $(\alpha, \beta, \gamma)$ est proportionnel à $(1, 1, -2)$ : $\boxed{x + y - 2z = 0}$.

(v) Pour une droite, il faut deux équations : $(x, y, z) = t(1, 2, -1)$ équivaut à $y = 2x$ et $z = -x$ : $\boxed{2x - y = 0 \text{ et } x + z = 0}$.

(vi) La première équation donne $x = 2z$, la seconde $y = 0$ : $\boxed{\mathrm{Vect}\big((2, 0, 1)\big)}$.

Dans chaque cas, on vérifie les deux inclusions comme dans l'exercice 9 : la famille trouvée vérifie les équations, et toute solution des équations est combinaison de la famille.