Exercice 9

1. Le vecteur $w = (1, 0, 0)$ convient : $\alpha a + \beta b = (-\alpha, 2\alpha + \beta, \alpha - \beta)$ est égal à $w$ seulement si $\alpha = -1$, $\beta = 2$ et $\alpha - \beta = 0$, ce qui est contradictoire.

2. On résout : $u = -a + 2b$ et $v = 2a + b$, donc $\mathrm{Vect}(u, v) \subset \mathrm{Vect}(a, b)$ par le théorème 1. Réciproquement, ce système s'inverse en $$a = \frac{-u + 2v}{5}, \qquad b = \frac{2u + v}{5},$$ donc $\mathrm{Vect}(a, b) \subset \mathrm{Vect}(u, v)$. $$\boxed{\mathrm{Vect}(a, b) = \mathrm{Vect}(u, v)}$$

3. On cherche $(\alpha, \beta, \gamma)$ orthogonal à $a$ et à $b$ : $-\alpha + 2\beta + \gamma = 0$ et $\beta - \gamma = 0$, d'où $\beta = \gamma$ et $\alpha = 3\gamma$. $$\boxed{(\alpha, \beta, \gamma) = (3, 1, 1) : \ 3x + y + z = 0 \text{ sur } \mathrm{Vect}(a, b)}$$

4. On a $\mathrm{Vect}(a, b) \subset P$, où $P$ est le plan d'équation $3x + y + z = 0$. Réciproquement, si $(x, y, z) \in P$, alors $z = -3x - y$, et l'on cherche $\lambda a + \mu b = (-\lambda, 2\lambda + \mu, \lambda - \mu)$ égal à $(x, y, z)$ : $\lambda = -x$ et $\mu = y + 2x$ conviennent, la troisième coordonnée valant bien $-x - y - 2x = z$. $$\boxed{\mathrm{Vect}(a, b) = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 3x + y + z = 0\}}$$