Exercice 8

(i) Les polynômes de degré $n$ ne forment pas un sous-espace, puisque $0$ n'en fait pas partie. Les polynômes qui s'annulent en $0$ et en $1$ forment le sous-espace $X(X - 1)\mathbb{R}[X]$, intersection des noyaux de deux évaluations. Les polynômes ayant au moins deux racines ne forment pas un sous-espace : $X^{2} - 1$ et $2 - X^{2}$ en ont deux, mais leur somme $1$ n'en a aucune.

(ii) Les multiples de $P$ forment un sous-espace, image de $Q \mapsto PQ$. Les diviseurs de $P$ n'en forment pas si $P \neq 0$, car $0$ ne divise pas $P$ ; si $P = 0$, tout polynôme divise $P$, et l'on obtient $\mathbb{R}[X]$.

(iii) C'est le noyau de l'application linéaire $P \mapsto P(X + 2) - XP'(X - 4)$, donc un sous-espace. Si $P$ est non nul de degré $d$ et de coefficient dominant $a$, les termes de degré $d$ donnent $a = da$, donc $d = 1$ ; avec $P = aX + b$, l'égalité $aX + 2a + b = aX$ donne $b = -2a$. $$\boxed{\text{C'est la droite } \mathrm{Vect}(X - 2).}$$

(iv) Les fonctions croissantes ne forment pas un sous-espace, ni les fonctions monotones : $x \mapsto x^{3}$ est croissante, $x \mapsto -x$ est décroissante, et leur somme ne l'est pas. Les différences de deux fonctions croissantes forment un sous-espace. Écrivons $f = f_{1} - f_{2}$ et $g = g_{1} - g_{2}$ avec $f_{1}$, $f_{2}$, $g_{1}$, $g_{2}$ croissantes. Pour $\lambda \geqslant 0$, $$\lambda f + g = (\lambda f_{1} + g_{1}) - (\lambda f_{2} + g_{2}),$$ et pour $\lambda < 0$, on échange les rôles de $f_{1}$ et $f_{2}$.

(v) La condition $f(0) + f(1) = f'(0)$ définit le noyau d'une forme linéaire sur $\mathcal{D}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ : c'est un sous-espace. La condition $f(x_{0}) = y_{0}$ en définit un si et seulement si $y_{0} = 0$.

(vi) Comme $A\cos(x + \varphi) = A\cos\varphi\cos x - A\sin\varphi\sin x$, et comme tout couple $(a, b)$ s'écrit $(A\cos\varphi, -A\sin\varphi)$ par passage en coordonnées polaires (chapitre 4), cet ensemble est $\mathrm{Vect}(\cos, \sin)$. Les fonctions ne prenant qu'un nombre fini de valeurs forment aussi un sous-espace : si $f$ prend $p$ valeurs et $g$ en prend $q$, $\lambda f + g$ en prend au plus $pq$. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Sous-espaces : } X(X - 1)\mathbb{R}[X],\ P\,\mathbb{R}[X],\ \mathrm{Vect}(X - 2), \text{ les différences de fonctions croissantes,} \\ \text{la condition } f(0) + f(1) = f'(0),\ \text{la condition } f(x_{0}) = y_{0} \text{ si } y_{0} = 0, \text{ et les deux ensembles de (vi).} \end{array}}$$