Exercice 7

(i) Non : $(n)$ est croissante, $(-n)$ ne l'est pas. (ii) Non : $(n^{2})$ et $(-2n)$ sont monotones, leur somme $(n^{2} - 2n)$, qui vaut $0, -1, 0, 3, \dots$, ne l'est pas. (iii) Oui, par l'inégalité triangulaire. (iv) Non : la suite nulle converge. (v) Oui, par les opérations sur les limites (chapitre 7). (vi) Non : la suite nulle n'y est pas. (vii) Oui : si $u$ est constante à partir du rang $n_{1}$ et $v$ à partir du rang $n_{2}$, $\lambda u + v$ l'est à partir de $\max(n_{1}, n_{2})$. (viii) Oui. (ix) Oui : si $u$ est $p$-périodique et $v$ est $q$-périodique, $\lambda u + v$ est $pq$-périodique. (x) Oui : c'est $\mathrm{Vect}\big((1)_{n}, (n)_{n}\big)$. (xi) Oui : c'est la droite $\mathrm{Vect}\big((3^{n})_{n}\big)$, puisque $u_{n} = u_{0}3^{n}$. $$\boxed{\text{Sous-espaces : (iii), (v), (vii), (viii), (ix), (x), (xi).}}$$ Piège. Pour (ix), la période de $\lambda u + v$ n'est pas celle de $u$ : c'est un multiple commun des deux périodes.