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ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Sous-espaces vectoriels

Exercice 6

Calcul

Soit n⩾2n \geqslant 2. Les parties suivantes de ℝn\mathbb{R}^{n} en sont-elles des sous-espaces vectoriels ?

1. {(x1,…,xn)∈ℝn ∣ ∑i=1nxi=0}\displaystyle \Big\{(x_{1}, \dots, x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \ \Big|\ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 0\Big\} ;

2. {(x1,…,xn)∈ℝn ∣ ∑i=1nxi=1}\displaystyle \Big\{(x_{1}, \dots, x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \ \Big|\ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 1\Big\} ;

3. {(x1,…,xn)∈ℝn ∣ ∑i=1n2ixi=0}\displaystyle \Big\{(x_{1}, \dots, x_{n}) \in \mathbb{R}^{n} \ \Big|\ \sum_{i = 1}^{n} 2^{i}x_{i} = 0\Big\} ;

4. l'ensemble des nn-uplets ayant au plus une coordonnée non nulle ;

5. ℤn\mathbb{Z}^{n}.

Corrigé

Les parties (i) et (iii) sont les noyaux des formes linéaires x↦∑xix \mapsto \sum x_{i} et x↦∑2ixix \mapsto \sum 2^{i}x_{i} : ce sont des sous-espaces (des hyperplans). La partie (ii) ne contient pas 00. La partie (iv) contient e1e_{1} et e2e_{2}, mais pas e1+e2e_{1} + e_{2}, puisque n⩾2n \geqslant 2. La partie (v) contient e1e_{1} mais pas 12e1\frac{1}{2}e_{1}. Sous-espaces : (i) et (iii).\boxed{\text{Sous-espaces : (i) et (iii).}}

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Espaces vectoriels et sous-espaces

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