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ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 14 — Espaces vectoriels et applications linéaires · Sous-espaces vectoriels

Exercice 5

Calcul

Les parties suivantes de ℝ2\mathbb{R}^{2} ou de ℝ3\mathbb{R}^{3} en sont-elles des sous-espaces vectoriels ?

1. {(x,y)∈ℝ2∣x=y}\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x = y\} ;

2. {(x,y)∈ℝ+2∣x=y}\{(x, y) \in \mathbb{R}_{+}^{2} \mid x = y\} ;

3. {(x,y)∈ℝ2∣∣x∣=∣y∣}\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid |x| = |y|\} ;

4. {(x,y)∈ℝ2∣x⩾y}\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \geqslant y\} ;

5. {(x,y)∈ℝ2∣x2+y2=1}\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2} + y^{2} = 1\} ;

6. {(x,y)∈ℝ2∣x2+y2=0}\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2} + y^{2} = 0\} ;

7. {(x,y,z)∈ℝ3∣x+2y−z+1=0}\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x + 2y - z + 1 = 0\} ;

8. {(x,y,z)∈ℝ3∣x=2y=4z}\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x = 2y = 4z\} ;

9. {(x,2x,3x)∣x∈ℝ}\{(x, 2x, 3x) \mid x \in \mathbb{R}\} ;

10. {(x,y,z)∈ℝ3∣xyz=0}\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid xyz = 0\}.

Corrigé

(i) Oui : c'est la droite ℝ(1,1)\mathbb{R}(1, 1). (ii) Non : (1,1)(1, 1) y est, mais pas −(1,1)-(1, 1). (iii) Non : (1,1)(1, 1) et (1,−1)(1, -1) y sont, mais pas leur somme (2,0)(2, 0). (iv) Non : (1,0)(1, 0) y est, mais pas −(1,0)-(1, 0). (v) Non : il ne contient pas (0,0)(0, 0). (vi) Oui : c'est {(0,0)}\{(0, 0)\}. (vii) Non : il ne contient pas 00. (viii) Oui : c'est la droite ℝ(4,2,1)\mathbb{R}(4, 2, 1). (ix) Oui : c'est la droite ℝ(1,2,3)\mathbb{R}(1, 2, 3). (x) Non : (1,1,0)(1, 1, 0) et (0,0,1)(0, 0, 1) y sont, mais pas leur somme. Sous-espaces : (i), (vi), (viii), (ix).\boxed{\text{Sous-espaces : (i), (vi), (viii), (ix).}}

Énoncé PDF, p. 1Corrigé PDF, p. 2Toute la feuilleLe cours

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Espaces vectoriels et sous-espaces

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