Exercice 4

Supposons $\operatorname{Arctan} x = a\,\mathrm{e}^{x^{2}} + b\,\mathrm{e}^{-x} + c\sin x$ pour tout réel $x$. En divisant par $\mathrm{e}^{x^{2}}$ et en faisant tendre $x$ vers $+\infty$, tous les termes tendent vers $0$ sauf $a$ : donc $a = 0$. En divisant ensuite par $\mathrm{e}^{-x}$ et en faisant tendre $x$ vers $-\infty$, on obtient $b = 0$, puisque $\operatorname{Arctan}$ et $\sin$ sont bornées. Il resterait $\operatorname{Arctan} = c\sin$, ce que dément l'évaluation en $\pi$ : $\operatorname{Arctan} \pi \neq 0 = c\sin\pi$. $$\boxed{\text{Non.}}$$ À retenir. Pour prouver qu'une fonction n'est pas combinaison de fonctions données, on compare les comportements à l'infini, du plus rapide au plus lent, comme pour la liberté des exponentielles dans le cours.