Exercice 3

1. Toute combinaison de $(1, 2, 0)$ et $(2, 1, 0)$ a une troisième coordonnée nulle : $(3, 3, 1)$ n'en est pas une. Avec $(1, 2, 0)$ et $(1, 1, 1)$, l'égalité $a(1, 2, 0) + b(1, 1, 1) = (3, 3, 1)$ impose $b = 1$ (troisième coordonnée), puis $a = 2$ (première), et la deuxième donne $5 \neq 3$. $$\boxed{\text{Non dans les deux cas.}}$$

2. Les deux premières coordonnées de $a(1, 3, 2) + b(1, -1, 4) = (3, 1, m)$ donnent $a + b = 3$ et $3a - b = 1$, d'où $a = 1$ et $b = 2$ ; la troisième impose alors $m = 2a + 4b$. $$\boxed{m = 10, \text{ avec } (3, 1, 10) = (1, 3, 2) + 2(1, -1, 4)}$$

3. Le coefficient de $X^{3}$ impose $a = 2$ dans $a(8X^{3} - 5X^{2} + 1) + b(X^{2} + 7X - 2)$, puis celui de $X$ impose $b = 3$, et l'on vérifie les deux autres coefficients. $$\boxed{16X^{3} - 7X^{2} + 21X - 4 = 2(8X^{3} - 5X^{2} + 1) + 3(X^{2} + 7X - 2)}$$

4. Si $\cos(2x) = a\cos x + b\sin x$ pour tout $x$, l'évaluation en $0$ et en $\pi$ donne $1 = a$ et $1 = -a$ : c'est impossible. Si $\sin(2x) = a\cos x + b\sin x$, l'évaluation en $0$ et en $\frac{\pi}{2}$ donne $a = b = 0$, et $\sin(2x)$ serait nulle. $$\boxed{\text{Non dans les deux cas.}}$$

5. Les combinaisons $\lambda + \mu(-1)^{n}$ sont $2$-périodiques ; réciproquement, une suite $2$-périodique $(u_{n})$ s'écrit ainsi avec $\lambda = \frac{u_{0} + u_{1}}{2}$ et $\mu = \frac{u_{0} - u_{1}}{2}$. $$\boxed{\text{Ce sont exactement les suites } 2\text{-périodiques.}}$$