Exercice 2

Soit $\varphi : \mathbb{R} \to ]-1, 1[$ une bijection, par exemple $\varphi = \operatorname{th}$ (chapitre 5), ou $\varphi(x) = \frac{x}{1 + |x|}$. On note $\Phi(x_{1}, \dots, x_{n}) = \big(\varphi(x_{1}), \dots, \varphi(x_{n})\big)$, bijection de $\mathbb{R}^{n}$ sur $]-1, 1[^{n}$, et l'on pose, pour $a$, $b \in \,]-1, 1[^{n}$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, $$a \oplus b = \Phi\big(\Phi^{-1}(a) + \Phi^{-1}(b)\big), \qquad \lambda \odot a = \Phi\big(\lambda\,\Phi^{-1}(a)\big).$$ Chaque axiome de $(]-1, 1[^{n}, \oplus, \odot)$ se déduit de l'axiome correspondant dans $\mathbb{R}^{n}$ en appliquant $\Phi$ ; par exemple $$\lambda \odot (a \oplus b) = \Phi\big(\lambda\Phi^{-1}(a) + \lambda\Phi^{-1}(b)\big) = (\lambda \odot a) \oplus (\lambda \odot b).$$

$$\boxed{\text{On transporte la structure de } \mathbb{R}^{n} \text{ par la bijection } \Phi ; \text{ le vecteur nul est } \Phi(0) = 0.}$$ À retenir. Une structure d'espace vectoriel ne dépend pas de la nature des objets : toute bijection avec un espace vectoriel permet d'en construire une, et l'application $\Phi$ est alors un isomorphisme.