Exercice 1

(i) L'axiome $1 \cdot x = x$ est en défaut : $1 \cdot (0, 1) = (0, 0) \neq (0, 1)$. $$\boxed{\text{Non : ce n'est pas un espace vectoriel.}}$$

(ii) L'addition est une loi de groupe abélien sur $\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}$, produit des groupes $(\mathbb{R}_{+}^{*}, \times)$ et $(\mathbb{R}, +)$ ; le neutre est $(1, 0)$ et l'opposé de $(x, y)$ est $(\frac{1}{x}, -y)$. Les quatre axiomes se vérifient grâce aux règles de calcul sur les puissances réelles (chapitre 5) : $$(\lambda + \mu) \cdot (x, y) = (x^{\lambda}x^{\mu}, \lambda y + \mu y), \qquad \lambda \cdot \big((x, y) + (x', y')\big) = \big(x^{\lambda}x'^{\lambda}, \lambda y + \lambda y'\big),$$

$$\boxed{\text{Oui : c'est un } \mathbb{R}\text{-espace vectoriel.}}$$ À retenir. L'application $(x, y) \mapsto (\ln x, y)$ transforme ces lois en les lois usuelles de $\mathbb{R}^{2}$ : c'est un isomorphisme, et l'on aurait pu tout transporter, comme dans l'exercice suivant.