Exercice 21

La famille des suites $u^{(k)} = (n^{k})_{n \in \mathbb{N}}$, $k \in \mathbb{N}$, convient : aucune n'est nulle à partir d'un certain rang. Si une sous-famille finie vérifie $\sum_{k = 0}^{d} \lambda_{k}n^{k} = 0$ pour tout $n$, le polynôme $\sum \lambda_{k}X^{k}$ a une infinité de racines, donc il est nul. $$\boxed{\big((n^{k})_{n \in \mathbb{N}}\big)_{k \in \mathbb{N}} \text{ est libre.}}$$ Les suites géométriques $(a^{n})_{n}$, $a > 0$, conviennent aussi, par le même argument que les exponentielles du cours.