Exercice 22

1. Une famille infinie est libre si toutes ses sous-familles finies le sont. Pour $\alpha_{1} < \cdots < \alpha_{n}$, la liberté de $(x \mapsto \mathrm{e}^{\alpha_{k}x})$ est l'exemple du cours, démontré en divisant par $\mathrm{e}^{\alpha_{n}x}$ et en faisant tendre $x$ vers $+\infty$.

2. Soit $\alpha_{1}, \dots, \alpha_{n}$ distincts et $\sum \lambda_{k}|x - \alpha_{k}| = 0$ pour tout $x$. Si $\lambda_{j} \neq 0$, on aurait $$|x - \alpha_{j}| = -\frac{1}{\lambda_{j}}\sum_{k \neq j} \lambda_{k}|x - \alpha_{k}|,$$ et le membre de droite est dérivable en $\alpha_{j}$, puisque chaque $x \mapsto |x - \alpha_{k}|$ l'est hors de $\alpha_{k}$, alors que le membre de gauche ne l'est pas. Donc tous les $\lambda_{j}$ sont nuls. $$\boxed{\text{Les deux familles sont libres.}}$$ À retenir. Pour une famille de fonctions, on cherche une propriété qui distingue chaque fonction des autres : une croissance plus rapide, ou un point de non-dérivabilité qui lui est propre.