Exercice 23

1. Si $\sum_{k = 0}^{d} \lambda_{k}\cos^{k} = 0$, le polynôme $\sum \lambda_{k}T^{k}$ s'annule sur $[-1, 1]$, donc il est nul : la famille est libre, comme à l'exercice 18.

2. Pour tout $n$, il existe un polynôme $T_{n}$ de degré $n$ tel que $\cos(nx) = T_{n}(\cos x)$ : c'est le polynôme de Tchebychev de l'exercice 53 du chapitre 13, ou une conséquence de la formule de Moivre (chapitre 4). Donc $x \mapsto \cos(nx)$ appartient à $\mathrm{Vect}(\cos^{k})_{k \leqslant n}$. Réciproquement, la linéarisation (chapitre 4) écrit $\cos^{n}$ comme combinaison des $x \mapsto \cos(kx)$, $k \leqslant n$. Les deux sous-espaces engendrés sont égaux, par le théorème 1. $$\boxed{\mathrm{Vect}(\cos^{n})_{n \in \mathbb{N}} = \mathrm{Vect}\big(\cos(n\,\cdot)\big)_{n \in \mathbb{N}}}$$

3. Si $\sum \lambda_{k}\cos(k\,\cdot) = 0$, alors $\big(\sum \lambda_{k}T_{k}\big)(\cos x) = 0$ pour tout $x$, donc le polynôme $\sum \lambda_{k}T_{k}$ est nul ; comme les $T_{k}$ sont de degrés distincts, la proposition 9 donne $\lambda_{k} = 0$ pour tout $k$. $$\boxed{\big(\cos(n\,\cdot)\big)_{n \in \mathbb{N}} \text{ est libre.}}$$