Exercice 24

Notons $Q_{k} = (X - a)^{k}(X - b)^{n - k}$.

$\triangleright$ Liberté. Supposons $\sum_{k = 0}^{n} c_{k}Q_{k} = 0$. En évaluant en $b$, seul le terme $k = n$ subsiste : $c_{n}(b - a)^{n} = 0$, donc $c_{n} = 0$. Les termes restants sont divisibles par $X - b$ ; après division, on obtient la même relation au rang $n - 1$, et une récurrence sur $n$ conclut.

$\triangleright$ Caractère générateur. Posons $U = X - a$, $V = X - b$ et $d = b - a \neq 0$, de sorte que $U - V = d$. Par la formule de Taylor en $a$, tout $P \in \mathbb{C}_{n}[X]$ s'écrit $\sum_{j = 0}^{n} p_{j}U^{j}$. Or $$U^{j} = U^{j}\Big(\frac{U - V}{d}\Big)^{n - j} = \frac{1}{d^{n - j}}\sum_{i = 0}^{n - j} \binom{n - j}{i}(-1)^{n - j - i}U^{j + i}V^{n - j - i},$$ combinaison des $U^{k}V^{n - k} = Q_{k}$. $$\boxed{(Q_{0}, \dots, Q_{n}) \text{ est une base de } \mathbb{C}_{n}[X].}$$ Le chapitre 15 permettra d'abréger : une famille libre de $n + 1$ vecteurs dans un espace de dimension $n + 1$ est une base.