Exercice 25

1. Génératrice. Montrons par récurrence sur $j$ que $x_{j} \in \mathrm{Vect}(x_{i})_{i \in J,\, i \leqslant j}$. Si $j \in J$, c'est clair. Sinon, $x_{j} \in \mathrm{Vect}(x_{1}, \dots, x_{j - 1})$, et chacun de ces vecteurs appartient, par hypothèse de récurrence, à $\mathrm{Vect}(x_{i})_{i \in J,\, i < j}$. Donc $\mathrm{Vect}(x_{j})_{j \in J}$ contient tous les $x_{i}$, et vaut $E$.

Libre. Si $\sum_{j \in J} \lambda_{j}x_{j} = 0$ avec des coefficients non tous nuls, soit $m$ le plus grand indice tel que $\lambda_{m} \neq 0$. Alors $x_{m}$ est combinaison de vecteurs d'indices inférieurs, donc appartient à $\mathrm{Vect}(x_{1}, \dots, x_{m - 1})$, ce qui contredit $m \in J$. $$\boxed{(x_{j})_{j \in J} \text{ est une base de } E.}$$

2. Les deux premiers vecteurs ne sont pas colinéaires. Ensuite, $(0, 1, 2) = 2(1, 1, 1) + (-2, -1, 0)$ et $(-1, 1, 3) = 3(1, 1, 1) + 2(-2, -1, 0)$, donc $J = \{1, 2\}$. $$\boxed{\text{Base : } \big((1, 1, 1), (-2, -1, 0)\big)}$$